Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccmpALT Structured version   Unicode version

Theorem icccmpALT 26588
Description: A closed interval in  RR is compact. Alternate proof of icccmp 18887 using the Heine-Borel theorem heibor 26568. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmpALT.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
icccmpALT.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
icccmpALT.3  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
Assertion
Ref Expression
icccmpALT  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  T  e.  Comp )

Proof of Theorem icccmpALT
StepHypRef Expression
1 icccmpALT.1 . . 3  |-  J  =  ( A [,] B
)
2 icccld 18832 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
31, 2syl5eqel 2526 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
4 icccmpALT.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
51, 4iccbnd 26587 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
6 iccssre 11023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
71, 6syl5eqss 3378 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
8 icccmpALT.3 . . . 4  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
9 eqid 2442 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
104, 8, 9reheibor 26586 . . 3  |-  ( J 
C_  RR  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( J  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  M  e.  ( Bnd `  J ) ) ) )
117, 10syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( J  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  M  e.  ( Bnd `  J ) ) ) )
123, 5, 11mpbir2and 890 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  T  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306    X. cxp 4905   ran crn 4908    |` cres 4909    o. ccom 4911   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   RRcr 9020    - cmin 9322   (,)cioo 10947   [,]cicc 10950   abscabs 12070   topGenctg 13696   MetOpencmopn 16722   Clsdccld 17111   Compccmp 17480   Bndcbnd 26514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cc 8346  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-ec 6936  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-gz 13329  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-prds 13702  df-pws 13704  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-cn 17322  df-lm 17324  df-haus 17410  df-cmp 17481  df-hmeo 17818  df-hmph 17819  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-cfil 19239  df-cau 19240  df-cmet 19241  df-totbnd 26515  df-bnd 26526  df-ismty 26546  df-rrn 26573
  Copyright terms: Public domain W3C validator