Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccmpALT Unicode version

Theorem icccmpALT 26444
Description: A closed interval in  RR is compact. Alternate proof of icccmp 18813 using the Heine-Borel theorem heibor 26424. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmpALT.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
icccmpALT.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
icccmpALT.3  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
Assertion
Ref Expression
icccmpALT  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  T  e.  Comp )

Proof of Theorem icccmpALT
StepHypRef Expression
1 icccmpALT.1 . . 3  |-  J  =  ( A [,] B
)
2 icccld 18758 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
31, 2syl5eqel 2492 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
4 icccmpALT.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
51, 4iccbnd 26443 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
6 iccssre 10952 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
71, 6syl5eqss 3356 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
8 icccmpALT.3 . . . 4  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
9 eqid 2408 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
104, 8, 9reheibor 26442 . . 3  |-  ( J 
C_  RR  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( J  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  M  e.  ( Bnd `  J ) ) ) )
117, 10syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( J  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  M  e.  ( Bnd `  J ) ) ) )
123, 5, 11mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  T  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284    X. cxp 4839   ran crn 4842    |` cres 4843    o. ccom 4845   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949    - cmin 9251   (,)cioo 10876   [,]cicc 10879   abscabs 11998   topGenctg 13624   MetOpencmopn 16650   Clsdccld 17039   Compccmp 17407   Bndcbnd 26370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cc 8275  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ec 6870  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-gz 13257  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-prds 13630  df-pws 13632  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-lm 17251  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-hmeo 17744  df-hmph 17745  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-cfil 19165  df-cau 19166  df-cmet 19167  df-totbnd 26371  df-bnd 26382  df-ismty 26402  df-rrn 26429
  Copyright terms: Public domain W3C validator