Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccmpALT Unicode version

Theorem icccmpALT 26565
Description: A closed interval in  RR is compact. Alternate proof of icccmp 18330 using the Heine-Borel theorem heibor 26545. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmpALT.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
icccmpALT.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
icccmpALT.3  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
Assertion
Ref Expression
icccmpALT  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  T  e.  Comp )

Proof of Theorem icccmpALT
StepHypRef Expression
1 icccmpALT.1 . . 3  |-  J  =  ( A [,] B
)
2 icccld 18276 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
31, 2syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
4 icccmpALT.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
51, 4iccbnd 26564 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
6 iccssre 10731 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
71, 6syl5eqss 3222 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
8 icccmpALT.3 . . . 4  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
9 eqid 2283 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
104, 8, 9reheibor 26563 . . 3  |-  ( J 
C_  RR  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( J  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  M  e.  ( Bnd `  J ) ) ) )
117, 10syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( J  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  M  e.  ( Bnd `  J ) ) ) )
123, 5, 11mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  T  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    - cmin 9037   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   abscabs 11719   topGenctg 13342   MetOpencmopn 16372   Clsdccld 16753   Compccmp 17113   Bndcbnd 26491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-gz 12977  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-prds 13348  df-pws 13350  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-lm 16959  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-hmeo 17446  df-hmph 17447  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-totbnd 26492  df-bnd 26503  df-ismty 26523  df-rrn 26550
  Copyright terms: Public domain W3C validator