Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccon2 Unicode version

Theorem icccon2 25803
Description: A closed-below, open-above interval is connected. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icccon2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) )  e.  Con )

Proof of Theorem icccon2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 8893 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
213ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  z  e.  RR* )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  z  e.  RR* )
4 elico2 10730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
54biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
6 elico2 10730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( y  e.  ( A [,) B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) ) )
76biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( y  e.  ( A [,) B )  ->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <  B ) ) )
85, 7im2anan9 808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
)  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <  B ) ) ) )
9 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  e.  RR )
10 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
)  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* ) )  ->  x  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
12 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  z  e.  RR )
13 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
)  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* ) )  ->  A  <_  x )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  <_  x )
15 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  x  <_  z )
169, 11, 12, 14, 15letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  <_  z )
1716exp31 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  A  <_  z ) ) )
188, 17syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  A  <_  z ) ) ) )
1918com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  A  <_  z ) ) ) )
2019anidms 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  A  <_  z ) ) ) )
2120pm2.43i 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( x  e.  ( A [,) B
)  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  A  <_  z ) ) )
2221imp31 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  <_  z )
232adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  z  e.  RR* )
24 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
25243ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B )  ->  y  e.  RR* )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  ->  y  e.  RR* )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
)  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  y  e.  RR* )
29 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  B  e.  RR* )
30 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  z  <_  y )
31 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
)  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* ) )  -> 
y  <  B )
3231adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  y  <  B )
3323, 28, 29, 30, 32xrlelttrd 10507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  < 
B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  z  <  B )
3433exp31 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <  B ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  -> 
z  <  B )
) )
358, 34syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  -> 
z  <  B )
) ) )
3635com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  z  <  B ) ) ) )
3736anidms 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  z  <  B ) ) ) )
3837pm2.43i 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( x  e.  ( A [,) B
)  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  z  <  B ) ) )
3938imp31 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  z  <  B )
403, 22, 393jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )  ->  (
z  e.  RR*  /\  A  <_  z  /\  z  < 
B ) )
4140ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  -> 
( z  e.  RR*  /\  A  <_  z  /\  z  <  B ) ) )
42 icossre 10746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
4342sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
4442sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( y  e.  ( A [,) B )  ->  y  e.  RR ) )
4543, 44anim12d 546 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( x  e.  ( A [,) B
)  /\  y  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4645imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
47 elicc2 10731 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( x [,] y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  (
z  e.  ( x [,] y )  <->  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
49 rexr 8893 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
5049anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
5150adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
52 elico1 10715 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( A [,) B )  <->  ( z  e.  RR*  /\  A  <_ 
z  /\  z  <  B ) ) )
5351, 52syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  (
z  e.  ( A [,) B )  <->  ( z  e.  RR*  /\  A  <_ 
z  /\  z  <  B ) ) )
5441, 48, 533imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  (
z  e.  ( x [,] y )  -> 
z  e.  ( A [,) B ) ) )
5554ssrdv 3198 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A [,) B )  /\  y  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  (
x [,] y ) 
C_  ( A [,) B ) )
5655ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  ->  A. x  e.  ( A [,) B ) A. y  e.  ( A [,) B ) ( x [,] y )  C_  ( A [,) B ) )
57 reconn 18349 . . 3  |-  ( ( A [,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) )  e.  Con  <->  A. x  e.  ( A [,) B
) A. y  e.  ( A [,) B
) ( x [,] y )  C_  ( A [,) B ) ) )
5842, 57syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) )  e. 
Con 
<-> 
A. x  e.  ( A [,) B ) A. y  e.  ( A [,) B ) ( x [,] y
)  C_  ( A [,) B ) ) )
5956, 58mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) )  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   ↾t crest 13341   topGenctg 13358   Conccon 17153
This theorem is referenced by:  intvconlem1  25806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-con 17154
  Copyright terms: Public domain W3C validator