Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccon4 Unicode version

Theorem icccon4 25702
Description: An open interval is connected. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icccon4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )  e.  Con )

Proof of Theorem icccon4
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo2 10697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
21biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
3 elioo2 10697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <  B ) ) )
43biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) ) )
52, 4anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) ) ) )
6 rexr 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
763ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  z  e.  RR* )
873ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  -> 
z  e.  RR* )
9 simp2l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  e.  RR* )
10 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
11103ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B )  ->  x  e.  RR* )
1211adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )  ->  x  e.  RR* )
13123ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  ->  x  e.  RR* )
14 simp1l2 1049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  <  x )
15 simp32 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  ->  x  <_  z )
169, 13, 8, 14, 15xrltletrd 10492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  ->  A  <  z )
17 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
18173ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B )  ->  y  e.  RR* )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )  ->  y  e.  RR* )
20193ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR* )
21 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  ->  B  e.  RR* )
22 simp33 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  -> 
z  <_  y )
23 simp1r3 1053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  -> 
y  <  B )
248, 20, 21, 22, 23xrlelttrd 10491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  -> 
z  <  B )
258, 16, 243jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  < 
B ) )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\  A  <  z  /\  z  <  B ) )
26253exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  B )  /\  ( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )  ->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  -> 
( z  e.  RR*  /\  A  <  z  /\  z  <  B ) ) ) )
275, 26syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  -> 
( z  e.  RR*  /\  A  <  z  /\  z  <  B ) ) ) ) )
2827pm2.43a 45 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  ->  (
z  e.  RR*  /\  A  <  z  /\  z  < 
B ) ) ) )
2928imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y )  -> 
( z  e.  RR*  /\  A  <  z  /\  z  <  B ) ) )
30 elioore 10686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
31 elioore 10686 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  RR )
3230, 31anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )
3332adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
34 elicc2 10715 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( x [,] y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
3533, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
z  e.  ( x [,] y )  <->  ( z  e.  RR  /\  x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
36 elioo1 10696 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( A (,) B )  <->  ( z  e.  RR*  /\  A  < 
z  /\  z  <  B ) ) )
3736adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
z  e.  ( A (,) B )  <->  ( z  e.  RR*  /\  A  < 
z  /\  z  <  B ) ) )
3829, 35, 373imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
z  e.  ( x [,] y )  -> 
z  e.  ( A (,) B ) ) )
3938ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( A (,) B )  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
x [,] y ) 
C_  ( A (,) B ) )
4039ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) A. y  e.  ( A (,) B
) ( x [,] y )  C_  ( A (,) B ) )
41 ioossre 10712 . . 3  |-  ( A (,) B )  C_  RR
42 reconn 18333 . . 3  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )  e.  Con  <->  A. x  e.  ( A (,) B
) A. y  e.  ( A (,) B
) ( x [,] y )  C_  ( A (,) B ) ) )
4341, 42mp1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B
) )  e.  Con  <->  A. x  e.  ( A (,) B ) A. y  e.  ( A (,) B
) ( x [,] y )  C_  ( A (,) B ) ) )
4440, 43mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ↾t crest 13325   topGenctg 13342   Conccon 17137
This theorem is referenced by:  intvconlem1  25703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-con 17138
  Copyright terms: Public domain W3C validator