MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccmax Unicode version

Theorem iccmax 10725
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax  |-  (  -oo [,] 
+oo )  =  RR*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10456 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
2 pnfxr 10455 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 iccval 10695 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo [,]  +oo )  =  {
x  e.  RR*  |  ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  (  -oo [,] 
+oo )  =  {
x  e.  RR*  |  ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  +oo ) }
5 rabid2 2717 . . 3  |-  ( RR*  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <_  x  /\  x  <_  +oo ) } 
<-> 
A. x  e.  RR*  (  -oo  <_  x  /\  x  <_  +oo ) )
6 mnfle 10470 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  -oo  <_  x )
7 pnfge 10469 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  +oo )
86, 7jca 518 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  -oo  <_  x  /\  x  <_  +oo ) )
95, 8mprgbir 2613 . 2  |-  RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  +oo ) }
104, 9eqtr4i 2306 1  |-  (  -oo [,] 
+oo )  =  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  leordtval2  16942  lecldbas  16949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator