MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Structured version   Unicode version

Theorem icco1 12326
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
icco1.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
icco1.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
icco1.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
icco1.5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
icco1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
Assertion
Ref Expression
icco1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 icco1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 icco1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 icco1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5 icco1.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
6 icco1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7 elicc2 10967 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
86, 4, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
105, 9mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) )
1110simp3d 971 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  N )
121, 2, 3, 4, 11ello1d 12309 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
132renegcld 9456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
146renegcld 9456 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  RR )
1510simp2d 970 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  <_  B )
166adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
172adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
1816, 17lenegd 9597 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( M  <_  B  <->  -u B  <_  -u M ) )
1915, 18mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  -u B  <_  -u M )
201, 13, 3, 14, 19ello1d 12309 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )
212o1lo1 12323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
2212, 20, 21mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258  (class class class)co 6073   RRcr 8981    <_ cle 9113   -ucneg 9284   [,]cicc 10911   O ( 1 )co1 12272   <_ O ( 1 )clo1 12273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-icc 10915  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-o1 12276  df-lo1 12277
  Copyright terms: Public domain W3C validator