MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Unicode version

Theorem iccordt 16944
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt  |-  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) )

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5861 . 2  |-  ( A [,] B )  =  ( [,] `  <. A ,  B >. )
2 letsr 14349 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
3 ledm 14346 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  <_
43ordtcld3 16929 . . . . . 6  |-  ( (  <_  e.  TosetRel  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) ) )
52, 4mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) ) )
65rgen2a 2609 . . . 4  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
7 df-icc 10663 . . . . 5  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
87fmpt2 6191 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )  <->  [,] : ( RR*  X. 
RR* ) --> ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) ) )
96, 8mpbi 199 . . 3  |-  [,] :
( RR*  X.  RR* ) --> ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
10 letop 16936 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
11 0cld 16775 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) ) )
1210, 11ax-mp 8 . . 3  |-  (/)  e.  (
Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
139, 12f0cli 5671 . 2  |-  ( [,] `  <. A ,  B >. )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
141, 13eqeltri 2353 1  |-  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   (/)c0 3455   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,]cicc 10659  ordTopcordt 13398    TosetRel ctsr 14302   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  lecldbas  16949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator