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Theorem iccpnfcnv 18495
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ] to  [
0 ,  +oo ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccpnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
iccpnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem iccpnfcnv
StepHypRef Expression
1 iccpnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2 0xr 8923 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 10502 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
4 pnfge 10516 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
52, 4ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0  <_  +oo
6 ubicc2 10800 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
72, 3, 5, 6mp3an 1277 . . . . . 6  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  =  1 )  ->  +oo  e.  (
0 [,]  +oo ) )
9 ssun1 3372 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo }
)
10 snunico 10810 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  =  ( 0 [,] 
+oo ) )
112, 3, 5, 10mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  =  ( 0 [,] 
+oo )
129, 11sseqtri 3244 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
13 1re 8882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
14 rexr 8922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
16 0le1 9342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
17 snunico 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  0  <_ 
1 )  ->  (
( 0 [,) 1
)  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 ) )
182, 15, 16, 17mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,) 1 )  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 )
1918eleq2i 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
x  e.  ( 0 [,] 1 ) )
20 elun 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  {
1 } ) )
2119, 20bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  \/  x  e. 
{ 1 } ) )
22 pm2.53 362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  { 1 } )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
2321, 22sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
24 elsni 3698 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
2523, 24syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  =  1 ) )
2625con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )
2726imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  x  e.  ( 0 [,) 1
) )
28 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
2928icopnfcnv 18493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
3029simpli 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )
31 f1of 5510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,)  +oo )
)
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,)  +oo )
3328fmpt 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) 1 ) ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,) 1
) --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3432, 33mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( 0 [,) 1
) ( x  / 
( 1  -  x
) )  e.  ( 0 [,)  +oo )
3534rspec 2641 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
3627, 35syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3712, 36sseldi 3212 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
388, 37ifclda 3626 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
3938adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
40 1elunit 10802 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
4140a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  =  +oo )  ->  1  e.  ( 0 [,] 1
) )
42 ssun1 3372 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  ( ( 0 [,) 1 )  u.  {
1 } )
4342, 18sseqtri 3244 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
4411eleq2i 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  <->  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
45 elun 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  <->  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  y  e.  { 
+oo } ) )
4644, 45bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  y  e.  { 
+oo } ) )
47 pm2.53 362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  y  e.  {  +oo } )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  y  e.  {  +oo } ) )
4846, 47sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( -.  y  e.  (
0 [,)  +oo )  -> 
y  e.  {  +oo } ) )
49 elsni 3698 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  {  +oo }  ->  y  =  +oo )
5048, 49syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( -.  y  e.  (
0 [,)  +oo )  -> 
y  =  +oo )
)
5150con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( -.  y  =  +oo  ->  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
5251imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53 f1ocnv 5523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,)  +oo ) -1-1-onto-> (
0 [,) 1 ) )
54 f1of 5510 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,)  +oo ) -1-1-onto-> (
0 [,) 1 )  ->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 
+oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
5530, 53, 54mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,)  +oo ) --> ( 0 [,) 1 )
5629simpri 448 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
5756fmpt 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
)  <->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,)  +oo )
--> ( 0 [,) 1
) )
5855, 57mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )
5958rspec 2641 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
6052, 59syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
6143, 60sseldi 3212 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6241, 61ifclda 3626 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6362adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
64 eqeq2 2325 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  1  <-> 
x  =  if ( y  =  +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6564bibi1d 310 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
66 eqeq2 2325 . . . . . 6  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  if ( y  =  +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6766bibi1d 310 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
68 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  y  = 
+oo )
69 iftrue 3605 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  +oo )
7069eqeq2d 2327 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <-> 
y  =  +oo )
)
7168, 70syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( x  =  1  ->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) )
72 pnfnre 8919 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e/  RR
73 neleq1 2570 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  +oo  ->  (
y  e/  RR  <->  +oo  e/  RR ) )
7473adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( y  e/  RR  <->  +oo  e/  RR ) )
7572, 74mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  y  e/  RR )
76 neleq1 2570 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  e/  RR  <->  if (
x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
7775, 76syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
78 df-nel 2482 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  <->  -.  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
79 iffalse 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
81 0re 8883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
82 icossre 10777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
8381, 3, 82mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
8483, 36sseldi 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
8580, 84eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
8685ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8786ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8887con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( -.  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR  ->  x  =  1 ) )
8978, 88syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  ->  x  =  1 ) )
9077, 89syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  x  =  1 ) )
9171, 90impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
92 eqeq2 2325 . . . . . . 7  |-  (  +oo  =  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  =  +oo  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
9392bibi2d 309 . . . . . 6  |-  (  +oo  =  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  +oo )  <->  ( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
94 eqeq2 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
9594bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <-> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
96 elico2 10761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
9781, 15, 96mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
9860, 97sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) )
9998simp1d 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  e.  RR )
10098simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 )
10199, 100gtned 8999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
1  =/=  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
102101adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  1  =/=  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
103102neneqd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  -.  1  =  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
104 eqeq1 2322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  1  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
105104notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <->  -.  1  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
106103, 105syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  (
x  =  1  ->  -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
107106imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  x  =  1 )  ->  -.  x  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
108 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  x  =  1 )  ->  -.  y  =  +oo )
109107, 1082falsed 340 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  x  =  1 )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  +oo ) )
110 f1ocnvfvb 5837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  (
0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  x
)  =  y  <->  ( `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x ) )
11130, 110mp3an1 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 x )  =  y  <->  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  y )  =  x ) )
112 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) )
113 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e. 
_V
11428fvmpt2 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  ( x  /  (
1  -  x ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) `  x )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
115112, 113, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) `  x )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
116115eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 x )  =  y  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
117 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
118 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e. 
_V
11956fvmpt2 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  _V )  -> 
( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 y )  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
120117, 118, 119sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 y )  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
121120eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  y )  =  x  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x ) )
122111, 116, 1213bitr3rd 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
( x  /  (
1  -  x ) )  =  y ) )
123 eqcom 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
124 eqcom 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
125122, 123, 1243bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
12627, 52, 125syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1 )  /\  (
y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
127126an4s 799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  ( -.  x  =  1  /\  -.  y  =  +oo ) )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
128127anass1rs 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
12993, 95, 109, 128ifbothda 3629 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
13065, 67, 91, 129ifbothda 3629 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( x  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
131130adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )  -> 
( x  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
1321, 39, 63, 131f1ocnv2d 6110 . 2  |-  (  T. 
->  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( y  =  +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) ) )
133132trud 1314 1  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479    e/ wnel 2480   A.wral 2577   _Vcvv 2822    u. cun 3184    C_ wss 3186   ifcif 3599   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   `'ccnv 4725   -->wf 5288   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   [,)cico 10705   [,]cicc 10706
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  18496  xrhmeo  18497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-rp 10402  df-ico 10709  df-icc 10710
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