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Theorem iccpnfcnv 18970
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ] to  [
0 ,  +oo ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccpnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
iccpnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem iccpnfcnv
StepHypRef Expression
1 iccpnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2 0xr 9132 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 10714 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
4 pnfge 10728 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
52, 4ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0  <_  +oo
6 ubicc2 11015 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
72, 3, 5, 6mp3an 1280 . . . . . 6  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  =  1 )  ->  +oo  e.  (
0 [,]  +oo ) )
9 ssun1 3511 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo }
)
10 snunico 11025 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  =  ( 0 [,] 
+oo ) )
112, 3, 5, 10mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  =  ( 0 [,] 
+oo )
129, 11sseqtri 3381 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
13 1re 9091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
1413rexri 9138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
15 0le1 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
16 snunico 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  0  <_ 
1 )  ->  (
( 0 [,) 1
)  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 ) )
172, 14, 15, 16mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,) 1 )  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 )
1817eleq2i 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
x  e.  ( 0 [,] 1 ) )
19 elun 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  {
1 } ) )
2018, 19bitr3i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  \/  x  e. 
{ 1 } ) )
21 pm2.53 364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  { 1 } )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
2220, 21sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
23 elsni 3839 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
2422, 23syl6 32 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  =  1 ) )
2524con1d 119 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )
2625imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  x  e.  ( 0 [,) 1
) )
27 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
2827icopnfcnv 18968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
2928simpli 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )
30 f1of 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,)  +oo )
)
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,)  +oo )
3227fmpt 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) 1 ) ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,) 1
) --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3331, 32mpbir 202 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( 0 [,) 1
) ( x  / 
( 1  -  x
) )  e.  ( 0 [,)  +oo )
3433rspec 2771 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
3526, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3612, 35sseldi 3347 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
378, 36ifclda 3767 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
3837adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
39 1elunit 11017 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  =  +oo )  ->  1  e.  ( 0 [,] 1
) )
41 ssun1 3511 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  ( ( 0 [,) 1 )  u.  {
1 } )
4241, 17sseqtri 3381 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
4311eleq2i 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  <->  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
44 elun 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  u.  {  +oo } )  <->  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  y  e.  { 
+oo } ) )
4543, 44bitr3i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  y  e.  { 
+oo } ) )
46 pm2.53 364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  y  e.  {  +oo } )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  y  e.  {  +oo } ) )
4745, 46sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( -.  y  e.  (
0 [,)  +oo )  -> 
y  e.  {  +oo } ) )
48 elsni 3839 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  {  +oo }  ->  y  =  +oo )
4947, 48syl6 32 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( -.  y  e.  (
0 [,)  +oo )  -> 
y  =  +oo )
)
5049con1d 119 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( -.  y  =  +oo  ->  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
5150imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
52 f1ocnv 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,)  +oo ) -1-1-onto-> (
0 [,) 1 ) )
53 f1of 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,)  +oo ) -1-1-onto-> (
0 [,) 1 )  ->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 
+oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
5429, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,)  +oo ) --> ( 0 [,) 1 )
5528simpri 450 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
5655fmpt 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
)  <->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,)  +oo )
--> ( 0 [,) 1
) )
5754, 56mpbir 202 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )
5857rspec 2771 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
5951, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
6042, 59sseldi 3347 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6140, 60ifclda 3767 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6261adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
63 eqeq2 2446 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  1  <-> 
x  =  if ( y  =  +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6463bibi1d 312 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
65 eqeq2 2446 . . . . . 6  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  if ( y  =  +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6665bibi1d 312 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
67 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  y  = 
+oo )
68 iftrue 3746 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  +oo )
6968eqeq2d 2448 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <-> 
y  =  +oo )
)
7067, 69syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( x  =  1  ->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) )
71 pnfnre 9128 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e/  RR
72 neleq1 2700 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  +oo  ->  (
y  e/  RR  <->  +oo  e/  RR ) )
7372adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( y  e/  RR  <->  +oo  e/  RR ) )
7471, 73mpbiri 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  y  e/  RR )
75 neleq1 2700 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  e/  RR  <->  if (
x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
7674, 75syl5ibcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
77 df-nel 2603 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  <->  -.  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
78 iffalse 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
7978adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
80 0re 9092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
81 icossre 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
8280, 3, 81mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
8382, 35sseldi 3347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
8479, 83eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
8584ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8685ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8786con1d 119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( -.  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR  ->  x  =  1 ) )
8877, 87syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  ->  x  =  1 ) )
8976, 88syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  x  =  1 ) )
9070, 89impbid 185 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  y  =  +oo )  ->  ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
91 eqeq2 2446 . . . . . . 7  |-  (  +oo  =  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  =  +oo  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
9291bibi2d 311 . . . . . 6  |-  (  +oo  =  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  +oo )  <->  ( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
93 eqeq2 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
9493bibi2d 311 . . . . . 6  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <-> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
95 elico2 10975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
9680, 14, 95mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
9759, 96sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) )
9897simp1d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  e.  RR )
9997simp3d 972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 )
10098, 99gtned 9209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo )  -> 
1  =/=  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
101100adantll 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  1  =/=  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
102101neneqd 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  -.  1  =  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
103 eqeq1 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  1  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
104103notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <->  -.  1  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
105102, 104syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  (
x  =  1  ->  -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
106105imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  x  =  1 )  ->  -.  x  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
107 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  x  =  1 )  ->  -.  y  =  +oo )
108106, 1072falsed 342 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  x  =  1 )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  +oo ) )
109 f1ocnvfvb 6018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  (
0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  x
)  =  y  <->  ( `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x ) )
11029, 109mp3an1 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 x )  =  y  <->  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  y )  =  x ) )
111 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) )
112 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e. 
_V
11327fvmpt2 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  ( x  /  (
1  -  x ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) `  x )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
114111, 112, 113sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) `  x )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
115114eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 x )  =  y  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
116 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
117 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e. 
_V
11855fvmpt2 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  _V )  -> 
( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 y )  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
119116, 117, 118sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 y )  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
120119eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  y )  =  x  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x ) )
121110, 115, 1203bitr3rd 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
( x  /  (
1  -  x ) )  =  y ) )
122 eqcom 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
123 eqcom 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
124121, 122, 1233bitr4g 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
12526, 51, 124syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1 )  /\  (
y  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  y  =  +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
126125an4s 801 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  ( -.  x  =  1  /\  -.  y  =  +oo ) )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
127126anass1rs 784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  y  =  +oo )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
12892, 94, 108, 127ifbothda 3770 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  -.  y  =  +oo )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
12964, 66, 90, 128ifbothda 3770 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( x  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
130129adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )  -> 
( x  =  if ( y  =  +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , 
+oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
1311, 38, 62, 130f1ocnv2d 6296 . 2  |-  (  T. 
->  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( y  =  +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) ) )
132131trud 1333 1  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( y  = 
+oo ,  1 , 
( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    e/ wnel 2601   A.wral 2706   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   ifcif 3740   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    +oocpnf 9118   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292    / cdiv 9678   [,)cico 10919   [,]cicc 10920
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  18971  xrhmeo  18972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-rp 10614  df-ico 10923  df-icc 10924
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