MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccsplit Unicode version

Theorem iccsplit 10768
Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccsplit  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )

Proof of Theorem iccsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  e.  RR )
2 simplr2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  A  <_  x )
3 simpr1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  x  e.  RR )
4 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
54sseld 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  C  e.  RR ) )
653impia 1148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  e.  RR )
76adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  C  e.  RR )
8 ltle 8910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  <  C  ->  x  <_  C )
)
93, 7, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  < 
C  ->  x  <_  C ) )
109imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  <_  C )
111, 2, 103jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) )
1211orcd 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
13 simplr1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  e.  RR )
14 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  C  <_  x )
15 simplr3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  <_  B )
1613, 14, 153jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1716olcd 382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1812, 17, 3, 7ltlecasei 8928 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1918ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
20 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
2120a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
)
22 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x )
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x ) )
24 elicc2 10715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
25203ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  e.  RR )
26 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
27263ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  e.  RR )
28 simp1r 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  B  e.  RR )
29 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  C )
30293ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  C )
31 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
32313ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  <_  B )
3325, 27, 28, 30, 32letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  B )
34333exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
3524, 34sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
36353impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) )
3721, 23, 363jcad 1133 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
38 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
3938a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
)
40 simp1l 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
41263ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
42383ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  x  e.  RR )
43 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  A  <_  C )
44433ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
45 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  C  <_  x )
46453ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  <_  x )
4740, 41, 42, 44, 46letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  x )
48473exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
4924, 48sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
50493impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) )
51 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B )
5251a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B ) )
5339, 50, 523jcad 1133 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5437, 53jaod 369 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5519, 54impbid 183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
56 elicc2 10715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
57563adant3 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
585imdistani 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
59583impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
60 elicc2 10715 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
6160adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) ) )
62 elicc2 10715 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6362ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6463adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
6561, 64orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6659, 65syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B ) )  <->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6755, 57, 663bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) ) )
68 elun 3316 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B
) )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) )
6967, 68syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) ) )
7069eqrdv 2281 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  18426  volcn  18961  itgspliticc  19191  cvmliftlem10  23825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator