MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccsplit Structured version   Unicode version

Theorem iccsplit 11021
Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccsplit  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )

Proof of Theorem iccsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  e.  RR )
2 simplr2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  A  <_  x )
3 simpr1 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  x  e.  RR )
4 iccssre 10984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
54sseld 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  C  e.  RR ) )
653impia 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  e.  RR )
76adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  C  e.  RR )
8 ltle 9155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  <  C  ->  x  <_  C )
)
93, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  < 
C  ->  x  <_  C ) )
109imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  <_  C )
111, 2, 103jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) )
1211orcd 382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
13 simplr1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  e.  RR )
14 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  C  <_  x )
15 simplr3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  <_  B )
1613, 14, 153jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1716olcd 383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1812, 17, 3, 7ltlecasei 9173 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1918ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
20 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
)
22 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x ) )
24 elicc2 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
25203ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  e.  RR )
26 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
27263ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  e.  RR )
28 simp1r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  B  e.  RR )
29 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  C )
30293ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  C )
31 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
32313ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  <_  B )
3325, 27, 28, 30, 32letrd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  B )
34333exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
3524, 34sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
36353impia 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) )
3721, 23, 363jcad 1135 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
38 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
)
40 simp1l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
41263ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
42383ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  x  e.  RR )
43 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  A  <_  C )
44433ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
45 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  C  <_  x )
46453ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  <_  x )
4740, 41, 42, 44, 46letrd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  x )
48473exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
4924, 48sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
50493impia 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) )
51 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B ) )
5339, 50, 523jcad 1135 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5437, 53jaod 370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5519, 54impbid 184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
56 elicc2 10967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
57563adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
585imdistani 672 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
59583impa 1148 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
60 elicc2 10967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
6160adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) ) )
62 elicc2 10967 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6362ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6463adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
6561, 64orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6659, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B ) )  <->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6755, 57, 663bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) ) )
68 elun 3480 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B
) )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) )
6967, 68syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) ) )
7069eqrdv 2433 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981    < clt 9112    <_ cle 9113   [,]cicc 10911
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  18945  volcn  19490  itgspliticc  19720  cvmliftlem10  24973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-icc 10915
  Copyright terms: Public domain W3C validator