Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccss3 Unicode version

Theorem iccss3 25237
Description: Condition for a closed interval to be a subset of another closed interval. See iccss (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccss3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,] B ) )

Proof of Theorem iccss3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  x  e.  RR* )
2 simpl1l 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  A  e.  RR* )
3 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  C  e.  RR* )
4 simpl3l 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  A  <_  C )
5 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  C  <_  x )
62, 3, 1, 4, 5xrletrd 10509 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  A  <_  x )
7 simpl2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  D  e.  RR* )
8 simpl1r 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  B  e.  RR* )
9 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  x  <_  D )
10 simpl3r 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  D  <_  B )
111, 7, 8, 9, 10xrletrd 10509 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  x  <_  B )
121, 6, 113jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1312ex 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( (
x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D )  ->  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
14 elicc1 10716 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( C [,] D )  <->  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D
) ) )
15143ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( C [,] D
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D
) ) )
16 elicc1 10716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
17163ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
1813, 15, 173imtr4d 259 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( C [,] D
)  ->  x  e.  ( A [,] B ) ) )
1918ssrdv 3198 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,] B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   [,]cicc 10675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator