Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccss3 Unicode version

Theorem iccss3 25134
Description: Condition for a closed interval to be a subset of another closed interval. See iccss (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccss3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,] B ) )

Proof of Theorem iccss3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  x  e.  RR* )
2 simpl1l 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  A  e.  RR* )
3 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  C  e.  RR* )
4 simpl3l 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  A  <_  C )
5 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  C  <_  x )
62, 3, 1, 4, 5xrletrd 10493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  A  <_  x )
7 simpl2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  D  e.  RR* )
8 simpl1r 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  B  e.  RR* )
9 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  x  <_  D )
10 simpl3r 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  D  <_  B )
111, 7, 8, 9, 10xrletrd 10493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  ->  x  <_  B )
121, 6, 113jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  /\  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1312ex 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( (
x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D )  ->  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
14 elicc1 10700 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( C [,] D )  <->  ( x  e.  RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D
) ) )
15143ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( C [,] D
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  C  <_  x  /\  x  <_  D
) ) )
16 elicc1 10700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
17163ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
1813, 15, 173imtr4d 259 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( C [,] D
)  ->  x  e.  ( A [,] B ) ) )
1918ssrdv 3185 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,] B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,]cicc 10659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator