MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssico Unicode version

Theorem iccssico 10942
Description: Condition for a closed interval to be a subset of a half-open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssico  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,) B ) )

Proof of Theorem iccssico
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 10882 . 2  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 10883 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrletr 10708 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <_  w )  ->  A  <_  w
) )
4 xrlelttr 10706 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  D  /\  D  <  B )  ->  w  <  B
) )
51, 2, 3, 4ixxss12 10896 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3284   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081   [,)cico 10878   [,]cicc 10879
This theorem is referenced by:  iccssico2  10944  dstfrvclim1  24692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-ico 10882  df-icc 10883
  Copyright terms: Public domain W3C validator