MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 Unicode version

Theorem iccssioo2 10947
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3602 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =/=  (/) )
3 ndmioo 10907 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2617 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6 eliooord 10934 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  C  /\  C  <  B ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) )
87simpld 446 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  C )
9 eliooord 10934 . . . 4  |-  ( D  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  D  /\  D  <  B ) )
109adantl 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  D  /\  D  <  B ) )
1110simprd 450 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  <  B )
12 iccssioo 10943 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )
135, 8, 11, 12syl12anc 1182 1  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2575    C_ wss 3288   (/)c0 3596   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   RR*cxr 9083    < clt 9084   (,)cioo 10880   [,]cicc 10883
This theorem is referenced by:  dvivthlem1  19853  dvivthlem2  19854  amgmlem  20789  iooscon  24895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-ioo 10884  df-icc 10887
  Copyright terms: Public domain W3C validator