MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 Structured version   Unicode version

Theorem iccssioo2 11014
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3619 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =/=  (/) )
3 ndmioo 10974 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2652 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6 eliooord 11001 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  C  /\  C  <  B ) )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) )
87simpld 447 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  C )
9 eliooord 11001 . . . 4  |-  ( D  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  D  /\  D  <  B ) )
109adantl 454 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  D  /\  D  <  B ) )
1110simprd 451 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  <  B )
12 iccssioo 11010 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )
135, 8, 11, 12syl12anc 1183 1  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1727    =/= wne 2605    C_ wss 3306   (/)c0 3613   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110   RR*cxr 9150    < clt 9151   (,)cioo 10947   [,]cicc 10950
This theorem is referenced by:  dvivthlem1  19923  dvivthlem2  19924  amgmlem  20859  iooscon  24965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-ioo 10951  df-icc 10954
  Copyright terms: Public domain W3C validator