MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Structured version   Unicode version

Theorem iccssre 10993
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 10976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 970 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1156 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3355 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    C_ wss 3321   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082   RRcr 8990    <_ cle 9122   [,]cicc 10920
This theorem is referenced by:  iccsupr  10998  iccsplit  11030  iccshftri  11032  iccshftli  11034  iccdili  11036  icccntri  11038  unitssre  11043  icccld  18802  iccntr  18853  icccmplem2  18855  icccmplem3  18856  icccmp  18857  retopcon  18861  iccconn  18862  cnmpt2pc  18954  iihalf1cn  18958  iihalf2cn  18960  icoopnst  18965  iocopnst  18966  icchmeo  18967  xrhmeo  18972  icccvx  18976  cnheiborlem  18980  htpycc  19006  pcocn  19043  pcohtpylem  19045  pcopt  19048  pcopt2  19049  pcoass  19050  pcorevlem  19052  ivthlem2  19350  ivthlem3  19351  ivthicc  19356  evthicc  19357  ovolficcss  19367  ovolicc1  19413  ovolicc2  19419  ovolicc  19420  iccmbl  19461  ovolioo  19463  dyadss  19487  volcn  19499  volivth  19500  vitalilem2  19502  vitalilem4  19504  mbfimaicc  19526  mbfi1fseqlem4  19611  itgioo  19708  rollelem  19874  rolle  19875  cmvth  19876  mvth  19877  dvlip  19878  c1liplem1  19881  c1lip1  19882  c1lip3  19884  dvgt0lem1  19887  dvgt0lem2  19888  dvgt0  19889  dvlt0  19890  dvge0  19891  dvle  19892  dvivthlem1  19893  dvivth  19895  dvne0  19896  lhop1lem  19898  dvcvx  19905  dvfsumle  19906  dvfsumge  19907  dvfsumabs  19908  ftc1lem1  19920  ftc1a  19922  ftc1lem4  19924  ftc1lem5  19925  ftc1lem6  19926  ftc1  19927  ftc1cn  19928  ftc2  19929  ftc2ditglem  19930  ftc2ditg  19931  itgparts  19932  itgsubstlem  19933  aalioulem3  20252  reeff1olem  20363  efcvx  20366  pilem3  20370  pige3  20426  sinord  20437  recosf1o  20438  resinf1o  20439  efif1olem4  20448  asinrecl  20743  acosrecl  20744  emre  20845  pntlem3  21304  iccscon  24936  iccllyscon  24938  cvmliftlem10  24982  mblfinlem2  26245  ftc1cnnclem  26279  ftc1cnnc  26280  ftc1anclem7  26287  ftc1anc  26289  ftc2nc  26290  areacirclem2  26294  areacirclem3  26295  areacirclem4  26296  areacirc  26298  ivthALT  26339  iccbnd  26550  icccmpALT  26551  lhe4.4ex1a  27524  itgsin0pilem1  27721  ibliccsinexp  27722  iblioosinexp  27724  itgsinexplem1  27725  itgsinexp  27726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-icc 10924
  Copyright terms: Public domain W3C validator