MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Unicode version

Theorem iccssre 10731
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 10715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1281 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 967 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1153 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3185 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    <_ cle 8868   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  iccsupr  10736  iccsplit  10768  iccshftri  10770  iccshftli  10772  iccdili  10774  icccntri  10776  unitssre  10781  rpnnen  12505  icccld  18276  iccntr  18326  icccmplem2  18328  icccmplem3  18329  icccmp  18330  retopcon  18334  iccconn  18335  iitopon  18383  dfii2  18386  dfii3  18387  dfii5  18389  cnmpt2pc  18426  iirevcn  18428  iihalf1cn  18430  iihalf2cn  18432  iimulcn  18436  icoopnst  18437  iocopnst  18438  icchmeo  18439  xrhmeo  18444  icccvx  18448  cnheiborlem  18452  lebnumii  18464  htpycc  18478  reparphti  18495  pcocn  18515  pcohtpylem  18517  pcopt  18520  pcopt2  18521  pcoass  18522  pcorevlem  18524  pcorev2  18526  pi1xfrcnv  18555  ivthlem2  18812  ivthlem3  18813  ivthicc  18818  evthicc  18819  ovolficcss  18829  ovolicc1  18875  ovolicc2  18881  ovolicc  18882  iccmbl  18923  ovolioo  18925  dyadss  18949  volcn  18961  volivth  18962  vitalilem1  18963  vitalilem2  18964  vitalilem4  18966  vitalilem5  18967  vitali  18968  mbfimaicc  18988  mbfi1fseqlem4  19073  itgioo  19170  rollelem  19336  rolle  19337  cmvth  19338  mvth  19339  dvlip  19340  dvlipcn  19341  c1liplem1  19343  c1lip1  19344  c1lip3  19346  dvgt0lem1  19349  dvgt0lem2  19350  dvgt0  19351  dvlt0  19352  dvge0  19353  dvle  19354  dvivthlem1  19355  dvivth  19357  dvne0  19358  lhop1lem  19360  dvcvx  19367  dvfsumle  19368  dvfsumge  19369  dvfsumabs  19370  ftc1lem1  19382  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386  ftc1lem5  19387  ftc1lem6  19388  ftc1  19389  ftc1cn  19390  ftc2  19391  ftc2ditglem  19392  ftc2ditg  19393  itgparts  19394  itgsubstlem  19395  aalioulem3  19714  abelth2  19818  reeff1olem  19822  efcvx  19825  pilem3  19829  pige3  19885  sinord  19896  recosf1o  19897  resinf1o  19898  efif1olem4  19907  asinrecl  20198  acosrecl  20199  leibpi  20238  cvxcl  20279  scvxcvx  20280  emre  20299  pntlem3  20758  stcl  22796  unitsscn  23280  probvalrnd  23627  cvxpcon  23773  cvxscon  23774  rescon  23777  iccscon  23779  iccllyscon  23781  cvmliftlem8  23823  cvmliftlem10  23825  axeuclidlem  24590  areacirclem4  24927  areacirclem1  24928  areacirclem5  24929  areacirc  24931  ivthALT  26258  iccbnd  26564  icccmpALT  26565  lhe4.4ex1a  27546  itgsin0pilem1  27744  ibliccsinexp  27745  iblioosinexp  27747  itgsinexplem1  27748  itgsinexp  27749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator