MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Unicode version

Theorem iccssre 10747
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 10731 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1281 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 967 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1153 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3198 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    <_ cle 8884   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  iccsupr  10752  iccsplit  10784  iccshftri  10786  iccshftli  10788  iccdili  10790  icccntri  10792  unitssre  10797  rpnnen  12521  icccld  18292  iccntr  18342  icccmplem2  18344  icccmplem3  18345  icccmp  18346  retopcon  18350  iccconn  18351  iitopon  18399  dfii2  18402  dfii3  18403  dfii5  18405  cnmpt2pc  18442  iirevcn  18444  iihalf1cn  18446  iihalf2cn  18448  iimulcn  18452  icoopnst  18453  iocopnst  18454  icchmeo  18455  xrhmeo  18460  icccvx  18464  cnheiborlem  18468  lebnumii  18480  htpycc  18494  reparphti  18511  pcocn  18531  pcohtpylem  18533  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  pcorevlem  18540  pcorev2  18542  pi1xfrcnv  18571  ivthlem2  18828  ivthlem3  18829  ivthicc  18834  evthicc  18835  ovolficcss  18845  ovolicc1  18891  ovolicc2  18897  ovolicc  18898  iccmbl  18939  ovolioo  18941  dyadss  18965  volcn  18977  volivth  18978  vitalilem1  18979  vitalilem2  18980  vitalilem4  18982  vitalilem5  18983  vitali  18984  mbfimaicc  19004  mbfi1fseqlem4  19089  itgioo  19186  rollelem  19352  rolle  19353  cmvth  19354  mvth  19355  dvlip  19356  dvlipcn  19357  c1liplem1  19359  c1lip1  19360  c1lip3  19362  dvgt0lem1  19365  dvgt0lem2  19366  dvgt0  19367  dvlt0  19368  dvge0  19369  dvle  19370  dvivthlem1  19371  dvivth  19373  dvne0  19374  lhop1lem  19376  dvcvx  19383  dvfsumle  19384  dvfsumge  19385  dvfsumabs  19386  ftc1lem1  19398  ftc1a  19400  ftc1lem4  19402  ftc1lem5  19403  ftc1lem6  19404  ftc1  19405  ftc1cn  19406  ftc2  19407  ftc2ditglem  19408  ftc2ditg  19409  itgparts  19410  itgsubstlem  19411  aalioulem3  19730  abelth2  19834  reeff1olem  19838  efcvx  19841  pilem3  19845  pige3  19901  sinord  19912  recosf1o  19913  resinf1o  19914  efif1olem4  19923  asinrecl  20214  acosrecl  20215  leibpi  20254  cvxcl  20295  scvxcvx  20296  emre  20315  pntlem3  20774  stcl  22812  unitsscn  23295  probvalrnd  23642  cvxpcon  23788  cvxscon  23789  rescon  23792  iccscon  23794  iccllyscon  23796  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem10  23840  axeuclidlem  24662  ftc1cnnclem  25024  ftc1cnnc  25025  areacirclem4  25030  areacirclem1  25031  areacirclem5  25032  areacirc  25034  ivthALT  26361  iccbnd  26667  icccmpALT  26668  lhe4.4ex1a  27649  itgsin0pilem1  27847  ibliccsinexp  27848  iblioosinexp  27850  itgsinexplem1  27851  itgsinexp  27852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator