MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccvolcl Structured version   Unicode version

Theorem iccvolcl 19463
Description: A closed real interval has finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccvolcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  e.  RR )

Proof of Theorem iccvolcl
StepHypRef Expression
1 iccmbl 19462 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
2 mblvol 19428 . . 3  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
4 rexr 9132 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
5 rexr 9132 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
6 icc0 10966 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
87biimpar 473 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
9 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  (/) ) )
10 ovol0 19391 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
119, 10syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  0 )
12 0re 9093 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1311, 12syl6eqel 2526 . . . 4  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
148, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( vol * `
 ( A [,] B ) )  e.  RR )
15 ovolicc 19421 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
16153expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A
) )
17 resubcl 9367 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1817ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1918adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2016, 19eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( A [,] B ) )  e.  RR )
21 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
22 simpl 445 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2314, 20, 21, 22ltlecasei 9183 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
243, 23eqeltrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   [,]cicc 10921   vol *covol 19361   volcvol 19362
This theorem is referenced by:  volcn  19500  mbfi1fseqlem4  19612  cniccibl  19734  ftc1lem4  19925  cnicciblnc  26278  ftc1cnnclem  26280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-ovol 19363  df-vol 19364
  Copyright terms: Public domain W3C validator