MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccvolcl Unicode version

Theorem iccvolcl 18924
Description: A closed real interval has finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccvolcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  e.  RR )

Proof of Theorem iccvolcl
StepHypRef Expression
1 iccmbl 18923 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
2 mblvol 18889 . . 3  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
4 rexr 8877 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
5 rexr 8877 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
6 icc0 10704 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
87biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
9 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  (/) ) )
10 ovol0 18852 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
119, 10syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  0 )
12 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1311, 12syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
148, 13syl 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( vol * `
 ( A [,] B ) )  e.  RR )
15 ovolicc 18882 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
16153expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A
) )
17 resubcl 9111 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1817ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2016, 19eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( A [,] B ) )  e.  RR )
21 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
22 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2314, 20, 21, 22ltlecasei 8928 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
243, 23eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  volcn  18961  mbfi1fseqlem4  19073  cniccibl  19195  ftc1lem4  19386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator