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Theorem icmpmon 25919
Description: If  ( G R F ) is a monomorphism, then  F is a monomorphism. JFM CAT1 th. 62 (Contributed by FL, 17-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
icmpmon.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
icmpmon.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
icmpmon.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
icmpmon  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  F  e.  ( MonoOLD  `  T ) )

Proof of Theorem icmpmon
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
2 3simpb 953 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( A  e.  O  /\  C  e.  O
) )
323ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( A  e.  O  /\  C  e.  O ) )
4 icmpmon.1 . . . . . . . 8  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
5 icmpmon.2 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( hom `  T
)
6 icmpmon.3 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( o_ `  T
)
74, 5, 6homgrf 25905 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) ) )
873impia 1148 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) )
94, 5, 6ismonc 25917 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n ) ) )
101, 3, 8, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `
 T )  <->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n ) ) )
114, 5, 6cmpassoh 25904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  -> 
( ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) )
12113exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) )
1312com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) )
1413exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  O  ->  ( A  e.  O  ->  ( B  e.  O  -> 
( C  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) ) ) )
15143impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  O  ->  (
( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) )
1615com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( m  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) )
1716imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
a  e.  O  -> 
( ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) )
1817com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) )
19183expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) )
2019com14 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) ) )
21203impia 1148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) ) ) )
2221imp31 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  a  e.  O )  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( ( G R F ) R m ) )
2322eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  a  e.  O )  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) ) )
2423adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  a  e.  O
)  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) ) )
254, 5, 6cmpassoh 25904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  -> 
( ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R n ) )  =  ( ( G R F ) R n ) ) )
2625imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  /\  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  ( G R ( F R n ) )  =  ( ( G R F ) R n ) )
2726eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  /\  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )
28273exp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) )
2928com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) )
3029exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  O  ->  ( A  e.  O  ->  ( B  e.  O  -> 
( C  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) ) ) )
31303impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  O  ->  (
( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) )
3231com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( a  e.  O  -> 
( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) )
33323expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( a  e.  O  -> 
( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) ) )
3433com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
a  e.  O  -> 
( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) ) )
3534com14 82 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) ) ) )
36353imp 1145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) )
3736com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) ) )
3837imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  a  e.  O )  ->  (
n  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) )
3938adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  a  e.  O )  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) ) )
4039imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  a  e.  O
)  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )
41 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) ) )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  /\  ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) ) )
43 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  /\  ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  (
( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) ) )
44 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  /\  ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  (
( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )
4542, 43, 443eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  /\  ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  (
( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n ) )
4645ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  ( ( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) )  ->  ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n ) ) )
4746imim1d 69 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n )  ->  (
( G R ( F R m ) )  =  ( G R ( F R n ) )  ->  m  =  n )
) )
4841, 47syl7 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( G R ( F R m ) )  /\  ( ( G R F ) R n )  =  ( G R ( F R n ) ) )  ->  ( ( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n )  ->  (
( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n )
) )
4924, 40, 48syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  a  e.  O
)  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n )  ->  ( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
5049ralimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  a  e.  O )  /\  m  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n )  ->  A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
5150ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  a  e.  O )  ->  ( A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n )  ->  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
5251ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R m )  =  ( ( G R F ) R n )  ->  m  =  n )  ->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
5310, 52sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `
 T )  ->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
54533exp 1150 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `
 T )  ->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) ) ) )
55543imp2 1166 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) )
56 simpl 443 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
57 3simpa 952 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
) )
58573ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T )
)  ->  ( A  e.  O  /\  B  e.  O ) )
5958adantl 452 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  ( A  e.  O  /\  B  e.  O ) )
60 simpr2l 1014 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )
614, 5, 6ismonc 25917 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
6256, 59, 60, 61syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `
 T )  <->  A. a  e.  O  A. m  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. n  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R m )  =  ( F R n )  ->  m  =  n ) ) )
6355, 62mpbird 223 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )  ->  F  e.  ( MonoOLD  `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat OLD ccatOLD 25855   homchomOLD 25888   MonoOLD cmonOLD 25907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-alg 25819  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-ded 25838  df-catOLD 25856  df-homOLD 25889  df-monOLD 25909
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