MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Unicode version

Theorem icopnfcld 18804
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,)  +oo )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10716 . . . . . 6  |-  -oo  e.  RR*
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  e.  RR* )
3 rexr 9132 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 10715 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  +oo  e.  RR* )
6 mnflt 10724 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )
7 ltpnf 10723 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  +oo )
8 df-ioo 10922 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
9 df-ico 10924 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
10 xrlenlt 9145 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <_  w  <->  -.  w  <  A ) )
11 xrlttr 10735 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <  A  /\  A  <  +oo )  ->  w  <  +oo ) )
12 xrltletr 10749 . . . . . 6  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  A  /\  A  <_  w )  ->  -oo  <  w ) )
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 10934 . . . . 5  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  A  /\  A  <  +oo ) )  -> 
( (  -oo (,) A )  u.  ( A [,)  +oo ) )  =  (  -oo (,)  +oo ) )
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1193 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(  -oo (,) A )  u.  ( A [,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,)  +oo ) )
15 ioomax 10987 . . . 4  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
1614, 15syl6eq 2486 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(  -oo (,) A )  u.  ( A [,)  +oo ) )  =  RR )
17 ioossre 10974 . . . 4  |-  (  -oo (,) A )  C_  RR
188, 9, 10ixxdisj 10933 . . . . 5  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo (,) A )  i^i  ( A [,)  +oo ) )  =  (/) )
192, 3, 5, 18syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(  -oo (,) A )  i^i  ( A [,)  +oo ) )  =  (/) )
20 uneqdifeq 3718 . . . 4  |-  ( ( (  -oo (,) A
)  C_  RR  /\  (
(  -oo (,) A )  i^i  ( A [,)  +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( A [,)  +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  (  -oo (,) A ) )  =  ( A [,)  +oo ) ) )
2117, 19, 20sylancr 646 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( (  -oo (,) A )  u.  ( A [,)  +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
(  -oo (,) A ) )  =  ( A [,)  +oo ) ) )
2216, 21mpbid 203 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( RR  \  (  -oo (,) A ) )  =  ( A [,)  +oo ) )
23 retop 18797 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
24 iooretop 18802 . . 3  |-  (  -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
25 uniretop 18798 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2625opncld 17099 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  (  -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( RR  \  (  -oo (,) A
) )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2723, 24, 26mp2an 655 . 2  |-  ( RR 
\  (  -oo (,) A ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
2822, 27syl6eqelr 2527 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,)  +oo )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   (,)cioo 10918   [,)cico 10920   topGenctg 13667   Topctop 16960   Clsdccld 17082
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  24624  orvcgteel  24727  rfcnpre3  27682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-cld 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator