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Theorem icopnfcnv 18969
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ) to  [
0 ,  +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
2 0re 9093 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 1re 9092 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43rexri 9139 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
5 elico2 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1 ) ) )
62, 4, 5mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1
) )
76simp1bi 973 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  e.  RR )
86simp3bi 975 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  <  1 )
9 difrp 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
107, 3, 9sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
118, 10mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 10677 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
136simp2bi 974 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  x )
147, 11, 13divge0d 10686 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
15 elrege0 11009 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
1612, 14, 15sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
1716adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,) 1
) )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
18 elrege0 11009 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
1918simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
20 readdcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
213, 19, 20sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  RR )
222a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
2318simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  y )
2419ltp1d 9943 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
25 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2619recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  e.  CC )
27 addcom 9254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2825, 26, 27sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2924, 28breqtrrd 4240 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( 1  +  y ) )
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 9230 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <  ( 1  +  y ) )
3121, 30elrpd 10648 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  RR+ )
3219, 31rerpdivcld 10677 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR )
33 divge0 9881 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( ( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
3521recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  CC )
3635mulid1d 9107 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  +  y )  x.  1 )  =  ( 1  +  y ) )
3729, 36breqtrrd 4240 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) )
383a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
39 ltdivmul 9884 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  (
( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( y  /  (
1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4137, 40mpbird 225 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 )
42 elico2 10976 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
432, 4, 42mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1139 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4544adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4626adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
y  e.  CC )
477adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
4847recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
4948, 46mulcld 9110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5046, 49, 48subadd2d 9432 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  -  ( x  x.  y
) )  =  x  <-> 
( x  +  ( x  x.  y ) )  =  y ) )
5125a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
1  e.  CC )
5251, 48, 46subdird 9492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  ( ( 1  x.  y )  -  ( x  x.  y ) ) )
5346mulid2d 9108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  x.  y
)  =  y )
5453oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  x.  y )  -  (
x  x.  y ) )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5552, 54eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5655eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x  <-> 
( y  -  (
x  x.  y ) )  =  x ) )
5748, 51, 46adddid 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  (
1  +  y ) )  =  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) ) )
5848mulid1d 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
5958oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6057, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  (
1  +  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6160eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <-> 
( x  +  ( x  x.  y ) )  =  y ) )
6250, 56, 613bitr4rd 279 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <-> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  x ) )
63 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y )
64 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y )  <->  ( (
1  -  x )  x.  y )  =  x )
6562, 63, 643bitr4g 281 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y ) ) )
6635adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  e.  CC )
6731adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  e.  RR+ )
6867rpne0d 10655 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  =/=  0 )
6946, 48, 66, 68divmul3d 9826 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) ) ) )
7011adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  e.  RR+ )
7170rpcnd 10652 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  e.  CC )
7270rpne0d 10655 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  =/=  0 )
7348, 46, 71, 72divmul2d 9825 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y  <-> 
x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y ) ) )
7465, 69, 733bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
( x  /  (
1  -  x ) )  =  y ) )
75 eqcom 2440 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
76 eqcom 2440 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
7774, 75, 763bitr4g 281 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
7877adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 6297 . 2  |-  (  T. 
->  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
8079trud 1333 1  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   -1-1-onto->wf1o 5455  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   RR+crp 10614   [,)cico 10920
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  18970  iccpnfcnv  18971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-rp 10615  df-ico 10924
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