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Theorem icopnfcnv 18440
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ) to  [
0 ,  +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
2 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
4 rexr 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
6 elico2 10714 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1 ) ) )
72, 5, 6mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1
) )
87simp1bi 970 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  e.  RR )
97simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  <  1 )
10 difrp 10387 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
118, 3, 10sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
129, 11mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  RR+ )
138, 12rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
147simp2bi 971 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  x )
158, 12, 14divge0d 10426 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
16 elrege0 10746 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
1713, 15, 16sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
1817adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,) 1
) )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
19 elrege0 10746 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
2019simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
21 readdcl 8820 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
223, 20, 21sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  RR )
232a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
2419simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  y )
2520ltp1d 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
26 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2720recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  e.  CC )
28 addcom 8998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2926, 27, 28sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
3025, 29breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( 1  +  y ) )
3123, 20, 22, 24, 30lelttrd 8974 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <  ( 1  +  y ) )
3222, 31elrpd 10388 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  RR+ )
3320, 32rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR )
34 divge0 9625 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( ( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
3520, 24, 22, 31, 34syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
3622recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  CC )
3736mulid1d 8852 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  +  y )  x.  1 )  =  ( 1  +  y ) )
3830, 37breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) )
393a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
40 ltdivmul 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  (
( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4120, 39, 22, 31, 40syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( y  /  (
1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4238, 41mpbird 223 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 )
43 elico2 10714 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
442, 5, 43mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
4533, 35, 42, 44syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4645adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4727adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
y  e.  CC )
488adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
4948recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5049, 47mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5147, 50, 49subadd2d 9176 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  -  ( x  x.  y
) )  =  x  <-> 
( x  +  ( x  x.  y ) )  =  y ) )
5226a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
1  e.  CC )
5352, 49, 47subdird 9236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  ( ( 1  x.  y )  -  ( x  x.  y ) ) )
5447mulid2d 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  x.  y
)  =  y )
5554oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  x.  y )  -  (
x  x.  y ) )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5653, 55eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5756eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x  <-> 
( y  -  (
x  x.  y ) )  =  x ) )
5849, 52, 47adddid 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  (
1  +  y ) )  =  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) ) )
5949mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
6059oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6158, 60eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  (
1  +  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6261eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <-> 
( x  +  ( x  x.  y ) )  =  y ) )
6351, 57, 623bitr4rd 277 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <-> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  x ) )
64 eqcom 2285 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y )
65 eqcom 2285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y )  <->  ( (
1  -  x )  x.  y )  =  x )
6663, 64, 653bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y ) ) )
6736adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  e.  CC )
6832adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  e.  RR+ )
6968rpne0d 10395 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  =/=  0 )
7047, 49, 67, 69divmul3d 9570 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) ) ) )
7112adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  e.  RR+ )
7271rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  e.  CC )
7371rpne0d 10395 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  =/=  0 )
7449, 47, 72, 73divmul2d 9569 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y  <-> 
x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y ) ) )
7566, 70, 743bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
( x  /  (
1  -  x ) )  =  y ) )
76 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
77 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
7875, 76, 773bitr4g 279 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
7978adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
801, 18, 46, 79f1ocnv2d 6068 . 2  |-  (  T. 
->  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
8180trud 1314 1  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   RR+crp 10354   [,)cico 10658
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  18441  iccpnfcnv  18442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-rp 10355  df-ico 10662
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