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Theorem icopnfcnv 18456
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ) to  [
0 ,  +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
2 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
4 rexr 8893 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
6 elico2 10730 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1 ) ) )
72, 5, 6mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1
) )
87simp1bi 970 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  e.  RR )
97simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  <  1 )
10 difrp 10403 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
118, 3, 10sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
129, 11mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  RR+ )
138, 12rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
147simp2bi 971 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  x )
158, 12, 14divge0d 10442 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
16 elrege0 10762 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
1713, 15, 16sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
1817adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,) 1
) )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
19 elrege0 10762 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
2019simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
21 readdcl 8836 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
223, 20, 21sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  RR )
232a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
2419simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  y )
2520ltp1d 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
26 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2720recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  e.  CC )
28 addcom 9014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2926, 27, 28sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
3025, 29breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( 1  +  y ) )
3123, 20, 22, 24, 30lelttrd 8990 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <  ( 1  +  y ) )
3222, 31elrpd 10404 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  RR+ )
3320, 32rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR )
34 divge0 9641 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( ( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
3520, 24, 22, 31, 34syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
3622recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
1  +  y )  e.  CC )
3736mulid1d 8868 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  +  y )  x.  1 )  =  ( 1  +  y ) )
3830, 37breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) )
393a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
40 ltdivmul 9644 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  (
( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4120, 39, 22, 31, 40syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( y  /  (
1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4238, 41mpbird 223 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 )
43 elico2 10730 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
442, 5, 43mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
4533, 35, 42, 44syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4645adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4727adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
y  e.  CC )
488adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
4948recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5049, 47mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5147, 50, 49subadd2d 9192 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  -  ( x  x.  y
) )  =  x  <-> 
( x  +  ( x  x.  y ) )  =  y ) )
5226a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
1  e.  CC )
5352, 49, 47subdird 9252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  ( ( 1  x.  y )  -  ( x  x.  y ) ) )
5447mulid2d 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  x.  y
)  =  y )
5554oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  x.  y )  -  (
x  x.  y ) )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5653, 55eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5756eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x  <-> 
( y  -  (
x  x.  y ) )  =  x ) )
5849, 52, 47adddid 8875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  (
1  +  y ) )  =  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) ) )
5949mulid1d 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
6059oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6158, 60eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  x.  (
1  +  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6261eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <-> 
( x  +  ( x  x.  y ) )  =  y ) )
6351, 57, 623bitr4rd 277 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <-> 
( ( 1  -  x )  x.  y
)  =  x ) )
64 eqcom 2298 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y )
65 eqcom 2298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y )  <->  ( (
1  -  x )  x.  y )  =  x )
6663, 64, 653bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y ) ) )
6736adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  e.  CC )
6832adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  e.  RR+ )
6968rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  +  y )  =/=  0 )
7047, 49, 67, 69divmul3d 9586 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) ) ) )
7112adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  e.  RR+ )
7271rpcnd 10408 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  e.  CC )
7371rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 1  -  x
)  =/=  0 )
7449, 47, 72, 73divmul2d 9585 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y  <-> 
x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y ) ) )
7566, 70, 743bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  =  x  <-> 
( x  /  (
1  -  x ) )  =  y ) )
76 eqcom 2298 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
77 eqcom 2298 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
7875, 76, 773bitr4g 279 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
7978adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
801, 18, 46, 79f1ocnv2d 6084 . 2  |-  (  T. 
->  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
8180trud 1314 1  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   RR+crp 10370   [,)cico 10674
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  18457  iccpnfcnv  18458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-rp 10371  df-ico 10678
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