MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Unicode version

Theorem icossre 10925
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 10908 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 969 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1155 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3299 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    C_ wss 3265   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   RRcr 8924   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056   [,)cico 10852
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10954  rexico  12086  rlim3  12221  abvf  15840  rege0subm  16680  iccpnfcnv  18842  cphsqrcl  19020  ovollb2lem  19253  ovollb2  19254  ovolunlem1a  19261  ovolunlem1  19262  ovoliunlem1  19267  ovolicc1  19281  ovolicc2lem4  19285  ovolicopnf  19289  ovolre  19290  ioombl1lem2  19322  ioombl1lem4  19324  uniioombllem1  19342  uniioombllem2  19344  uniioombllem3  19346  uniioombllem6  19349  0plef  19433  mbfi1fseqlem3  19478  mbfi1fseqlem4  19479  mbfi1fseqlem5  19480  itg2mulclem  19507  itg2mulc  19508  itg2monolem1  19511  itg2mono  19514  itg2i1fseq  19516  itg2gt0  19521  itg2cnlem1  19522  itg2cnlem2  19523  dvfsumrlim2  19785  tanord1  20308  cxpcn3  20501  rlimcnp  20673  efrlim  20677  jensenlem1  20694  jensenlem2  20695  amgm  20698  chebbnd1  21035  chebbnd2  21040  dchrisumlem3  21054  pntpbnd1  21149  pntibndlem2  21154  sxbrsigalem0  24417  dya2iocress  24420  dya2iocucvr  24430  itg2addnclem2  25960  itg2addnc  25961  areacirclem4  25986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-ico 10856
  Copyright terms: Public domain W3C validator