MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Unicode version

Theorem icossre 10983
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 10966 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 969 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1155 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3346 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   [,)cico 10910
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11012  rexico  12149  rlim3  12284  abvf  15903  rege0subm  16747  iccpnfcnv  18961  cphsqrcl  19139  ovollb2lem  19376  ovollb2  19377  ovolunlem1a  19384  ovolunlem1  19385  ovoliunlem1  19390  ovolicc1  19404  ovolicc2lem4  19408  ovolicopnf  19412  ovolre  19413  ioombl1lem2  19445  ioombl1lem4  19447  uniioombllem1  19465  uniioombllem2  19467  uniioombllem3  19469  uniioombllem6  19472  0plef  19556  mbfi1fseqlem3  19601  mbfi1fseqlem4  19602  mbfi1fseqlem5  19603  itg2mulclem  19630  itg2mulc  19631  itg2monolem1  19634  itg2mono  19637  itg2i1fseq  19639  itg2gt0  19644  itg2cnlem1  19645  itg2cnlem2  19646  dvfsumrlim2  19908  tanord1  20431  cxpcn3  20624  rlimcnp  20796  efrlim  20800  jensenlem1  20817  jensenlem2  20818  amgm  20821  chebbnd1  21158  chebbnd2  21163  dchrisumlem3  21177  pntpbnd1  21272  pntibndlem2  21277  sxbrsigalem0  24613  dya2iocress  24616  dya2iocucvr  24626  sitgclg  24648  sitmcl  24655  itg2addnclem2  26247  itg2addnclem3  26248  areacirclem4  26284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ico 10914
  Copyright terms: Public domain W3C validator