MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Unicode version

Theorem icossre 10730
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 10714 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1281 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 967 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1153 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3185 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,)cico 10658
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10759  rexico  11837  rlim3  11972  abvf  15588  rege0subm  16428  iccpnfcnv  18442  cphsqrcl  18620  ovollb2lem  18847  ovollb2  18848  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovolicc1  18875  ovolicc2lem4  18879  ovolicopnf  18883  ovolre  18884  ioombl1lem2  18916  ioombl1lem4  18918  uniioombllem1  18936  uniioombllem2  18938  uniioombllem3  18940  uniioombllem6  18943  0plef  19027  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  itg2mulclem  19101  itg2mulc  19102  itg2monolem1  19105  itg2mono  19108  itg2i1fseq  19110  itg2gt0  19115  itg2cnlem1  19116  itg2cnlem2  19117  dvfsumrlim2  19379  tanord1  19899  cxpcn3  20088  rlimcnp  20260  efrlim  20264  jensenlem1  20281  jensenlem2  20282  amgm  20285  chebbnd1  20621  chebbnd2  20626  dchrisumlem3  20640  pntpbnd1  20735  pntibndlem2  20740  areacirclem4  24339  icccon2  25112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662
  Copyright terms: Public domain W3C validator