MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idadm Unicode version

Theorem idadm 13893
Description: Domain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i  |-  I  =  (Ida
`  C )
idafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
idafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
idahom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
idadm  |-  ( ph  ->  (domA `  ( I `  X
) )  =  X )

Proof of Theorem idadm
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3  |-  I  =  (Ida
`  C )
2 idafval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 idafval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 idahom.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 eqid 2283 . . 3  |-  (Homa `  C
)  =  (Homa `  C
)
61, 2, 3, 4, 5idahom 13892 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( X (Homa
`  C ) X ) )
75homadm 13872 . 2  |-  ( ( I `  X )  e.  ( X (Homa `  C ) X )  ->  (domA `  ( I `  X
) )  =  X )
86, 7syl 15 1  |-  ( ph  ->  (domA `  ( I `  X
) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   Catccat 13566  domAcdoma 13852  Homachoma 13855  Idacida 13885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-cat 13570  df-cid 13571  df-doma 13856  df-homa 13858  df-ida 13887
  Copyright terms: Public domain W3C validator