MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idahom Unicode version

Theorem idahom 14143
Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i  |-  I  =  (Ida
`  C )
idafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
idafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
idahom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
idahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
Assertion
Ref Expression
idahom  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( X H X ) )

Proof of Theorem idahom
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3  |-  I  =  (Ida
`  C )
2 idafval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 idafval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 eqid 2388 . . 3  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
5 idahom.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5idaval 14141 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  =  <. X ,  X ,  ( ( Id `  C ) `  X ) >. )
7 idahom.h . . 3  |-  H  =  (Homa
`  C )
8 eqid 2388 . . 3  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
92, 8, 4, 3, 5catidcl 13835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  X
)  e.  ( X (  Hom  `  C
) X ) )
107, 2, 3, 8, 5, 5, 9elhomai2 14117 . 2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  X , 
( ( Id `  C ) `  X
) >.  e.  ( X H X ) )
116, 10eqeltrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( X H X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cotp 3762   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397    Hom chom 13468   Catccat 13817   Idccid 13818  Homachoma 14106  Idacida 14136
This theorem is referenced by:  idadm  14144  idacd  14145  idaf  14146  arwlid  14155  arwrid  14156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-ot 3768  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-riota 6486  df-cat 13821  df-cid 13822  df-homa 14109  df-ida 14138
  Copyright terms: Public domain W3C validator