MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idahom Unicode version

Theorem idahom 13908
Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i  |-  I  =  (Ida
`  C )
idafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
idafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
idahom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
idahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
Assertion
Ref Expression
idahom  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( X H X ) )

Proof of Theorem idahom
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3  |-  I  =  (Ida
`  C )
2 idafval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 idafval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 eqid 2296 . . 3  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
5 idahom.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5idaval 13906 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  =  <. X ,  X ,  ( ( Id `  C ) `  X ) >. )
7 idahom.h . . 3  |-  H  =  (Homa
`  C )
8 eqid 2296 . . 3  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
92, 8, 4, 3, 5catidcl 13600 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  X
)  e.  ( X (  Hom  `  C
) X ) )
107, 2, 3, 8, 5, 5, 9elhomai2 13882 . 2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  X , 
( ( Id `  C ) `  X
) >.  e.  ( X H X ) )
116, 10eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( X H X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cotp 3657   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235   Catccat 13582   Idccid 13583  Homachoma 13871  Idacida 13901
This theorem is referenced by:  idadm  13909  idacd  13910  idaf  13911  arwlid  13920  arwrid  13921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-cat 13586  df-cid 13587  df-homa 13874  df-ida 13903
  Copyright terms: Public domain W3C validator