MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iddvds Structured version   Unicode version

Theorem iddvds 12894
Description: An integer divides itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
iddvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )

Proof of Theorem iddvds
StepHypRef Expression
1 zcn 10318 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
21mulid2d 9137 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  x.  N )  =  N )
3 1z 10342 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
4 dvds0lem 12891 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  x.  N
)  =  N )  ->  N  ||  N
)
53, 4mp3anl1 1274 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  x.  N )  =  N )  ->  N  ||  N
)
65anabsan 788 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  N
)  =  N )  ->  N  ||  N
)
72, 6mpdan 651 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110   1c1 9022    x. cmul 9026   ZZcz 10313    || cdivides 12883
This theorem is referenced by:  dvdsadd  12919  dvds1  12929  dvdsext  12931  divalglem0  12944  divalglem2  12946  sadadd3  13004  gcd0id  13054  gcdeq  13083  1idssfct  13116  dvdsprime  13123  3prm  13127  dvdsprm  13130  coprm  13131  mulgcddvds  13135  isprm6  13140  exprmfct  13141  pcidlem  13276  pcprmpw2  13286  pcprmpw  13287  odeq  15219  pgpfi  15270  znidomb  16873  sgmnncl  20961  muinv  21009  ppiublem2  21018  perfect1  21043  perfectlem2  21045  2sqlem6  21184  eupath2lem3  21732  jm2.18  27097  jm2.15nn0  27112  jm2.16nn0  27113  jm2.27c  27116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-z 10314  df-dvds 12884
  Copyright terms: Public domain W3C validator