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Theorem idfisf 25944
Description: The identity functor is a functor. (Contributed by FL, 15-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
idfisf  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) )  e.  ( Func OLD `  <. T ,  T >. )
)

Proof of Theorem idfisf
Dummy variables  a 
b  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5527 . . 3  |-  (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) : dom  ( dom_ `  T ) -1-1-onto-> dom  ( dom_ `  T )
2 f1of 5488 . . 3  |-  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) : dom  ( dom_ `  T
)
-1-1-onto-> dom  ( dom_ `  T
)  ->  (  _I  |` 
dom  ( dom_ `  T
) ) : dom  ( dom_ `  T ) --> dom  ( dom_ `  T
) )
31, 2mp1i 11 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) : dom  ( dom_ `  T
) --> dom  ( dom_ `  T ) )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  dom  ( id_ `  T )  =  dom  ( id_ `  T
)
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( id_ `  T )  =  ( id_ `  T )
74, 5, 6jdmo 25881 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  dom  ( id_ `  T ) )  ->  ( ( id_ `  T ) `  a
)  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
8 fvresi 5727 . . . . . 6  |-  ( ( ( id_ `  T
) `  a )  e.  dom  ( dom_ `  T
)  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  ( ( id_ `  T
) `  a )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 a ) )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  dom  ( id_ `  T ) )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  a )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 a ) )
10 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  a  ->  (
( id_ `  T
) `  b )  =  ( ( id_ `  T ) `  a
) )
1110eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  a  ->  (
( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )  <->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  a )
) )
1211rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  dom  ( id_ `  T )  /\  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  a )
)  ->  E. b  e.  dom  ( id_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  a )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 b ) )
1312ex 423 . . . . . 6  |-  ( a  e.  dom  ( id_ `  T )  ->  (
( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  a )  ->  E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )
) )
1413adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  dom  ( id_ `  T ) )  ->  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  ( ( id_ `  T
) `  a )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 a )  ->  E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )
) )
159, 14mpd 14 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  dom  ( id_ `  T ) )  ->  E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )
)
1615ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  A. a  e.  dom  ( id_ `  T ) E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )
)
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
184, 5, 17dmo 25879 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  m
)  e.  dom  ( id_ `  T ) )
194, 5, 6jdmo 25881 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( dom_ `  T
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
2018, 19syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  m ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
21 fvresi 5727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  m ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  m ) ) )
23 fvresi 5727 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
(  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m )  =  m )
2423eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  m  =  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) )
2524fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( dom_ `  T ) `  m )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  m ) ) )
2625fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
2726adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
2822, 27eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
2928ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
30 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
314, 5, 30cdmo 25880 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  e.  dom  ( id_ `  T ) )
324, 5, 6jdmo 25881 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
3331, 32syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  m ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
34 fvresi 5727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  m ) ) )
3533, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  m ) ) )
3624fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( cod_ `  T ) `  m )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  m ) ) )
3736fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
3837adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
3935, 38eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
4039ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )
4129, 40jca 518 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) ) )
42 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o_
`  T )  =  ( o_ `  T
)
434, 17, 30, 42cmpmorp 25882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  n )  ->  (
m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
4443com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  m )  =  ( ( cod_ `  T ) `  n
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
4544eqcoms 2299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  n )  =  ( ( dom_ `  T ) `  m
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
4645com12 27 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  n
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  m )  ->  (
m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
47 fvresi 5727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
(  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( m ( o_
`  T ) n ) )
48 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
(  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 n )  =  n )
4923, 48oveqan12rd 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) )  =  ( m ( o_
`  T ) n ) )
5049eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( m ( o_
`  T ) n )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 n ) ) )
5147, 50sylan9eqr 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( m
( o_ `  T
) n )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
(  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) )
5251ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) )
53523adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( m ( o_ `  T ) n )  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) )
5446, 53syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  n
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  m )  ->  (
(  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) )
55543com23 1157 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  n
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  m )  ->  (
(  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) )
56553expib 1154 . . . 4  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  n  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  n )  =  ( ( dom_ `  T
) `  m )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) ) )
5756ralrimivv 2647 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. n  e.  dom  ( dom_ `  T ) ( ( ( cod_ `  T
) `  n )  =  ( ( dom_ `  T ) `  m
)  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  ( m ( o_
`  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 n ) ) ) )
5816, 41, 573jca 1132 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( A. a  e.  dom  ( id_ `  T ) E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )  /\  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. n  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
cod_ `  T ) `  n )  =  ( ( dom_ `  T
) `  m )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) ) )
595, 4, 17, 30, 6, 42, 5, 4, 17, 30, 6, 42isfunb 25938 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) )  e.  (
Func OLD `  <. T ,  T >. )  <->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) : dom  ( dom_ `  T
) --> dom  ( dom_ `  T )  /\  ( A. a  e.  dom  ( id_ `  T ) E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )  /\  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. n  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
cod_ `  T ) `  n )  =  ( ( dom_ `  T
) `  m )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) ) ) ) )
6059anidms 626 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) )  e.  ( Func OLD ` 
<. T ,  T >. )  <-> 
( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) : dom  ( dom_ `  T ) --> dom  ( dom_ `  T )  /\  ( A. a  e.  dom  ( id_ `  T ) E. b  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( ( id_ `  T ) `  a
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  b )  /\  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 m ) ) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. n  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
cod_ `  T ) `  n )  =  ( ( dom_ `  T
) `  m )  ->  ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `
 ( m ( o_ `  T ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T
) ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) ) `  n ) ) ) ) ) ) )
613, 58, 60mpbir2and 888 1  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (  _I  |`  dom  ( dom_ `  T ) )  e.  ( Func OLD `  <. T ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   <.cop 3656    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat
OLD ccatOLD 25855   Func
OLDcfuncOLD 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-alg 25819  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-ded 25838  df-catOLD 25856  df-funcOLD 25936
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