MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idfu2 Structured version   Unicode version

Theorem idfu2 14080
Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idfuval.i  |-  I  =  (idfunc `  C )
idfuval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
idfuval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
idfuval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
idfu2nd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
idfu2nd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
idfu2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
idfu2  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  F )

Proof of Theorem idfu2
StepHypRef Expression
1 idfuval.i . . . 4  |-  I  =  (idfunc `  C )
2 idfuval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 idfuval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 idfuval.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
5 idfu2nd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 idfu2nd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6idfu2nd 14079 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( 2nd `  I ) Y )  =  (  _I  |`  ( X H Y ) ) )
87fveq1d 5733 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  ( (  _I  |`  ( X H Y ) ) `  F ) )
9 idfu2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
10 fvresi 5927 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  (
(  _I  |`  ( X H Y ) ) `
 F )  =  F )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  ( X H Y ) ) `
 F )  =  F )
128, 11eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    _I cid 4496    |` cres 4883   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   2ndc2nd 6351   Basecbs 13474    Hom chom 13545   Catccat 13894  idfunccidfu 14057
This theorem is referenced by:  idfucl  14083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-2nd 6353  df-idfu 14061
  Copyright terms: Public domain W3C validator