MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idfu2 Unicode version

Theorem idfu2 13962
Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idfuval.i  |-  I  =  (idfunc `  C )
idfuval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
idfuval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
idfuval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
idfu2nd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
idfu2nd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
idfu2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
idfu2  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  F )

Proof of Theorem idfu2
StepHypRef Expression
1 idfuval.i . . . 4  |-  I  =  (idfunc `  C )
2 idfuval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 idfuval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 idfuval.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
5 idfu2nd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 idfu2nd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6idfu2nd 13961 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( 2nd `  I ) Y )  =  (  _I  |`  ( X H Y ) ) )
87fveq1d 5634 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  ( (  _I  |`  ( X H Y ) ) `  F ) )
9 idfu2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
10 fvresi 5824 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  (
(  _I  |`  ( X H Y ) ) `
 F )  =  F )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  ( X H Y ) ) `
 F )  =  F )
128, 11eqtrd 2398 1  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715    _I cid 4407    |` cres 4794   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   2ndc2nd 6248   Basecbs 13356    Hom chom 13427   Catccat 13776  idfunccidfu 13939
This theorem is referenced by:  idfucl  13965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-2nd 6250  df-idfu 13943
  Copyright terms: Public domain W3C validator