MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idfu2 Unicode version

Theorem idfu2 14038
Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idfuval.i  |-  I  =  (idfunc `  C )
idfuval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
idfuval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
idfuval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
idfu2nd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
idfu2nd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
idfu2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
idfu2  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  F )

Proof of Theorem idfu2
StepHypRef Expression
1 idfuval.i . . . 4  |-  I  =  (idfunc `  C )
2 idfuval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 idfuval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 idfuval.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
5 idfu2nd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 idfu2nd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6idfu2nd 14037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( 2nd `  I ) Y )  =  (  _I  |`  ( X H Y ) ) )
87fveq1d 5697 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  ( (  _I  |`  ( X H Y ) ) `  F ) )
9 idfu2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
10 fvresi 5891 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  (
(  _I  |`  ( X H Y ) ) `
 F )  =  F )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  ( X H Y ) ) `
 F )  =  F )
128, 11eqtrd 2444 1  |-  ( ph  ->  ( ( X ( 2nd `  I ) Y ) `  F
)  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    _I cid 4461    |` cres 4847   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   2ndc2nd 6315   Basecbs 13432    Hom chom 13503   Catccat 13852  idfunccidfu 14015
This theorem is referenced by:  idfucl  14041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-2nd 6317  df-idfu 14019
  Copyright terms: Public domain W3C validator