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Theorem idfucl 13771
Description: The identity functor is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
idfucl.i  |-  I  =  (idfunc `  C )
Assertion
Ref Expression
idfucl  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  e.  ( C  Func  C
) )

Proof of Theorem idfucl
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idfucl.i . . . 4  |-  I  =  (idfunc `  C )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 id 19 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  C  e.  Cat )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
51, 2, 3, 4idfuval 13766 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  =  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) )
>. )
65fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( 2nd `  I )  =  ( 2nd `  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) )
>. ) )
7 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
8 resiexg 5013 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  C )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( Base `  C
) )  e.  _V )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( Base `  C
) )  e.  _V
107, 7xpex 4817 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  e.  _V
1110mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) ) 
|->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) )  e.  _V
129, 11op2nd 6145 . . . . 5  |-  ( 2nd `  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) )
>. )  =  (
z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) )
136, 12syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( 2nd `  I )  =  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) ) )
1413opeq2d 3819 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  <. (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ,  ( 2nd `  I )
>.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ,  ( z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) ) >. )
155, 14eqtr4d 2331 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  =  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( 2nd `  I
) >. )
16 f1oi 5527 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( Base `  C
) ) : (
Base `  C ) -1-1-onto-> ( Base `  C )
17 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) : ( Base `  C
)
-1-1-onto-> ( Base `  C )  ->  (  _I  |`  ( Base `  C ) ) : ( Base `  C
) --> ( Base `  C
) )
1816, 17mp1i 11 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (  _I  |`  ( Base `  C
) ) : (
Base `  C ) --> ( Base `  C )
)
19 f1oi 5527 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) : ( (  Hom  `  C ) `  z ) -1-1-onto-> ( (  Hom  `  C
) `  z )
20 f1of 5488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) : ( (  Hom  `  C
) `  z ) -1-1-onto-> (
(  Hom  `  C ) `
 z )  -> 
(  _I  |`  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) : ( (  Hom  `  C ) `  z
) --> ( (  Hom  `  C ) `  z
) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) : ( (  Hom  `  C ) `  z ) --> ( (  Hom  `  C ) `  z )
22 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Hom  `  C ) `  z )  e.  _V
2322, 22elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  e.  ( ( (  Hom  `  C ) `  z
)  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  <->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) : ( (  Hom  `  C ) `  z ) --> ( (  Hom  `  C ) `  z ) )
2421, 23mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
)  e.  ( ( (  Hom  `  C
) `  z )  ^m  ( (  Hom  `  C
) `  z )
)
25 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) )  ->  ( 1st `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( 1st `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
27 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( 1st `  z
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) )  =  ( 1st `  z ) )
29 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
31 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2nd `  z )  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( 2nd `  z
) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  ( 2nd `  z ) )
3328, 32oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( 1st `  z ) (  Hom  `  C
) ( 2nd `  z
) ) )
34 df-ov 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  z ) (  Hom  `  C
) ( 2nd `  z
) )  =  ( (  Hom  `  C
) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
3533, 34syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( (  Hom  `  C ) `  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
36 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) )  ->  z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
3837fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( (  Hom  `  C
) `  z )  =  ( (  Hom  `  C ) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. ) )
3935, 38eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )
4039oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  =  ( ( (  Hom  `  C ) `  z
)  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) )
4124, 40syl5eleqr 2383 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
(  _I  |`  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) )  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) )
4241ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( C  e.  Cat  ->  A. z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) )
43 mptelixpg 6869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  e. 
_V  ->  ( ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) ) 
|->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) )  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  <->  A. z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) (  _I  |`  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) ) ) )
4410, 43ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) )  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) )  <->  A. z  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
)  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) )
4542, 44sylibr 203 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  C
) `  z )
) )  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) )
4613, 45eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( 2nd `  I )  e.  X_ z  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  C ) `
 z ) ) )
47 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
48 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
49 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  C ) )
502, 4, 47, 48, 49catidcl 13600 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
51 fvresi 5727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Id `  C
) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C ) x )  ->  ( (  _I  |`  ( x (  Hom  `  C ) x ) ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  C ) `  x ) )
5250, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( (  _I  |`  (
x (  Hom  `  C
) x ) ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  C ) `  x
) )
531, 2, 48, 4, 49, 49idfu2nd 13767 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( x ( 2nd `  I ) x )  =  (  _I  |`  (
x (  Hom  `  C
) x ) ) )
5453fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  I ) x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( (  _I  |`  ( x
(  Hom  `  C ) x ) ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) ) )
55 fvresi 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
)  =  x )
5655adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x )  =  x )
5756fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  C ) `  x ) )
5852, 54, 573eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  I ) x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  C ) `
 ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) ) )
59 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
6048ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
6149ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  C )
)
62 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  C )
)
63 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  C )
)
64 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
65 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) )
662, 4, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65catcocl 13603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
67 fvresi 5727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C
) z )  -> 
( (  _I  |`  (
x (  Hom  `  C
) z ) ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( x (  Hom  `  C ) z ) ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )
691, 2, 60, 4, 61, 63idfu2nd 13767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( 2nd `  I ) z )  =  (  _I  |`  ( x
(  Hom  `  C ) z ) ) )
7069fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( x ( 2nd `  I
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( (  _I  |`  ( x
(  Hom  `  C ) z ) ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ) )
7161, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
)  =  x )
72 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  y
)  =  y )
7362, 72syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  y
)  =  y )
7471, 73opeq12d 3820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  <. ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  y ) >.  =  <. x ,  y >. )
75 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  z
)  =  z )
7663, 75syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  z
)  =  z )
7774, 76oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( <. (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) )
781, 2, 60, 4, 62, 63, 65idfu2 13768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( y ( 2nd `  I
) z ) `  g )  =  g )
791, 2, 60, 4, 61, 62, 64idfu2 13768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( x ( 2nd `  I
) y ) `  f )  =  f )
8077, 78, 79oveq123d 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( ( y ( 2nd `  I
) z ) `  g ) ( <.
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )
8168, 70, 803eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( x ( 2nd `  I
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) )
8281ralrimivva 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) )
8382ralrimivva 2648 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C ) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) )
8458, 83jca 518 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( ( x ( 2nd `  I
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  C
) `  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) )  /\  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) ) )
8584ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  A. x  e.  ( Base `  C
) ( ( ( x ( 2nd `  I
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  C
) `  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) )  /\  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) ) )
862, 2, 4, 4, 47, 47, 59, 59, 3, 3isfunc 13754 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) ( C  Func  C
) ( 2nd `  I
)  <->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) : (
Base `  C ) --> ( Base `  C )  /\  ( 2nd `  I
)  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  C ) `  z ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) ( ( ( x ( 2nd `  I ) x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  C ) `  (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) ) ) ) )
8718, 46, 85, 86mpbir3and 1135 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ( C 
Func  C ) ( 2nd `  I ) )
88 df-br 4040 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ( C  Func  C )
( 2nd `  I
)  <->  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( 2nd `  I
) >.  e.  ( C 
Func  C ) )
8987, 88sylib 188 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  <. (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ,  ( 2nd `  I )
>.  e.  ( C  Func  C ) )
9015, 89eqeltrd 2370 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  e.  ( C  Func  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   <.cop 3656   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137    ^m cmap 6788   X_cixp 6833   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583    Func cfunc 13744  idfunccidfu 13745
This theorem is referenced by:  cofulid  13780  cofurid  13781  idffth  13823  ressffth  13828  catccatid  13950  curf2ndf  14037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-map 6790  df-ixp 6834  df-cat 13586  df-cid 13587  df-func 13748  df-idfu 13749
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