Theorem idhme 10508

Description: The identity function is a homeomorphism.

Hypothesis

Ref	Expression
idhme.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
idhme	|- (J e. Top -> (I |` X) e. (J Homeo J))

Proof of Theorem idhme

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 2877	. . . 4 |- (J e. Top -> U.J e. V)
2		idhme.1	. . . 4 |- X = U.J
3	1, 2	syl5eqel 1555	. . 3 |- (J e. Top -> X e. V)
4		resiexg 3402	. . 3 |- (X e. V -> (I |` X) e. V)
5	3, 4	syl 10	. 2 |- (J e. Top -> (I |` X) e. V)
6		f1oi 3723	. . . . . 6 |- (I |` X):X-1-1-onto->X
7	6	a1i 8	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> (I |` X):X-1-1-onto->X)
8		elssuni 2530	. . . . . . . . 9 |- (x e. J -> x (_ U.J)
9		id 59	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ U.J -> x (_ U.J)
10	9, 2	syl6ssr 2111	. . . . . . . . 9 |- (x (_ U.J -> x (_ X)
11		resiima 3425	. . . . . . . . 9 |- (x (_ X -> ((I |` X)"x) = x)
12	8, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (x e. J -> ((I |` X)"x) = x)
13		id 59	. . . . . . . 8 |- (x e. J -> x e. J)
14	12, 13	eqeltrd 1551	. . . . . . 7 |- (x e. J -> ((I |` X)"x) e. J)
15	14	rgen 1701	. . . . . 6 |- A.x e. J ((I |` X)"x) e. J
16	15	a1i 8	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> A.x e. J ((I |` X)"x) e. J)
17		cnvresid 3575	. . . . . . . . . . . . 13 |- `'(I |` X) = (I |` X)
18	17	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (x (_ X -> `'(I |` X) = (I |` X))
19	18	imaeq1d 3409	. . . . . . . . . . 11 |- (x (_ X -> (`'(I |` X)"x) = ((I |` X)"x))
20	19, 11	eqtrd 1510	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ X -> (`'(I |` X)"x) = x)
21	10, 20	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (x (_ U.J -> (`'(I |` X)"x) = x)
22	8, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- (x e. J -> (`'(I |` X)"x) = x)
23	22, 13	eqeltrd 1551	. . . . . . 7 |- (x e. J -> (`'(I |` X)"x) e. J)
24	23	rgen 1701	. . . . . 6 |- A.x e. J (`'(I |` X)"x) e. J
25	24	a1i 8	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> A.x e. J (`'(I |` X)"x) e. J)
26	7, 16, 25	3jca 821	. . . 4 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> ((I |` X):X-1-1-onto->X /\ A.x e. J ((I |` X)"x) e. J /\ A.x e. J (`'(I |` X)"x) e. J))
27	2, 2	ishomeo 10503	. . . 4 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> ((I |` X) e. (J Homeo J) <-> ((I |` X):X-1-1-onto->X /\ A.x e. J ((I |` X)"x) e. J /\ A.x e. J (`'(I |` X)"x) e. J)))
28	26, 27	mpbird 196	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> (I |` X) e. (J Homeo J))
29	28	3anidm12 884	. 2 |- ((J e. Top /\ (I |` X) e. V) -> (I |` X) e. (J Homeo J))
30	5, 29	mpdan 706	1 |- (J e. Top -> (I |` X) e. (J Homeo J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  Icid 2837  `'ccnv 3175   |` cres 3178  "cima 3179  -1-1-onto->wf1o 3187  (class class class)co 3969  Topctop 7590   Homeo chomeosm 10499

This theorem is referenced by:  hmeogrp 10524

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-homeo 10501

Copyright terms: Public domain