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Theorem idlvalNEW 25445
Description: The class of ideals of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by FL, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
idlvalNEW.1  |-  P  =  ( +g  `  R
)
idlvalNEW.2  |-  T  =  ( .r `  R
)
idlvalNEW.3  |-  B  =  ( Base `  R
)
idlvalNEW.4  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
idlvalNEW  |-  ( R  e.  Ring  ->  (IdlNEW `  R )  =  {
i  e.  ~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, i,
y, z, R    B, i
Allowed substitution hints:    B( x, y, z)    P( x, y, z, i)    T( x, y, z, i)    Z( x, y, z, i)

Proof of Theorem idlvalNEW
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
2 idlvalNEW.3 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
43pweqd 3630 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ~P ( Base `  r )  =  ~P B )
5 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
6 idlvalNEW.4 . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
75, 6syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  Z )
87eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( 0g `  r
)  e.  i  <->  Z  e.  i ) )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  R
) )
10 idlvalNEW.1 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( +g  `  R
)
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  =  P )
1211oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
x ( +g  `  r
) y )  =  ( x P y ) )
1312eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( x ( +g  `  r ) y )  e.  i  <->  ( x P y )  e.  i ) )
1413ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  i 
( x ( +g  `  r ) y )  e.  i  <->  A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i ) )
1514adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  x  e.  i )  ->  ( A. y  e.  i  ( x ( +g  `  r ) y )  e.  i  <->  A. y  e.  i 
( x P y )  e.  i ) )
163eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  ( Base `  r )  <->  z  e.  B ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
18 idlvalNEW.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( .r `  R
)
1917, 18syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  T )
2019oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z ( .r `  r ) x )  =  ( z T x ) )
2120eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( z ( .r
`  r ) x )  e.  i  <->  ( z T x )  e.  i ) )
2219oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x ( .r `  r ) z )  =  ( x T z ) )
2322eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( x ( .r
`  r ) z )  e.  i  <->  ( x T z )  e.  i ) )
2421, 23anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( z ( .r `  r ) x )  e.  i  /\  ( x ( .r `  r ) z )  e.  i )  <->  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) )
2516, 24imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( z  e.  (
Base `  r )  ->  ( ( z ( .r `  r ) x )  e.  i  /\  ( x ( .r `  r ) z )  e.  i ) )  <->  ( z  e.  B  ->  ( ( z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) ) )
2625adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  x  e.  i )  ->  ( ( z  e.  ( Base `  r
)  ->  ( (
z ( .r `  r ) x )  e.  i  /\  (
x ( .r `  r ) z )  e.  i ) )  <-> 
( z  e.  B  ->  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) )
2726ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  x  e.  i )  ->  ( A. z  e.  ( Base `  r
) ( ( z ( .r `  r
) x )  e.  i  /\  ( x ( .r `  r
) z )  e.  i )  <->  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) )
2815, 27anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  x  e.  i )  ->  ( ( A. y  e.  i  ( x
( +g  `  r ) y )  e.  i  /\  A. z  e.  ( Base `  r
) ( ( z ( .r `  r
) x )  e.  i  /\  ( x ( .r `  r
) z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) )
2928ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x ( +g  `  r ) y )  e.  i  /\  A. z  e.  ( Base `  r
) ( ( z ( .r `  r
) x )  e.  i  /\  ( x ( .r `  r
) z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) )
308, 29anbi12d 691 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( 0g `  r )  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x
( +g  `  r ) y )  e.  i  /\  A. z  e.  ( Base `  r
) ( ( z ( .r `  r
) x )  e.  i  /\  ( x ( .r `  r
) z )  e.  i ) ) )  <-> 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) ) ) )
314, 30rabeqbidv 2783 . 2  |-  ( r  =  R  ->  { i  e.  ~P ( Base `  r )  |  ( ( 0g `  r
)  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x ( +g  `  r ) y )  e.  i  /\  A. z  e.  ( Base `  r ) ( ( z ( .r `  r ) x )  e.  i  /\  (
x ( .r `  r ) z )  e.  i ) ) ) }  =  {
i  e.  ~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) } )
32 df-idlNEW 25444 . 2  |- IdlNEW  =  ( r  e.  Ring  |->  { i  e.  ~P ( Base `  r )  |  ( ( 0g `  r
)  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x ( +g  `  r ) y )  e.  i  /\  A. z  e.  ( Base `  r ) ( ( z ( .r `  r ) x )  e.  i  /\  (
x ( .r `  r ) z )  e.  i ) ) ) } )
33 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
342, 33eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3534pwex 4193 . . 3  |-  ~P B  e.  _V
3635rabex 4165 . 2  |-  { i  e.  ~P B  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) ) }  e.  _V
3731, 32, 36fvmpt 5602 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (IdlNEW `  R )  =  {
i  e.  ~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  IdlNEWcidln 25443
This theorem is referenced by:  isidlNEW  25446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-idlNEW 25444
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