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Theorem idmon 25817
Description: If there exists  G such as  ( G R F )  =  ( J `  B
) then F is a monomorphism. JFM CAT1 th. 63. (Contributed by FL, 5-May-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
idmon.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
idmon.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
idmon.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
idmon.4  |-  J  =  ( id_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
idmon  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  ->  ( ( G R F )  =  ( J `  B
)  ->  F  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )

Proof of Theorem idmon
Dummy variables  c 
f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( ( F R f )  =  ( F R g )  ->  ( G R ( F R f ) )  =  ( G R ( F R g ) ) )
2 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
32ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  T  e.  Cat OLD  )
4 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  c  e.  O )
5 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  B  e.  O )
65ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  B  e.  O )
74, 6jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( c  e.  O  /\  B  e.  O ) )
8 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  A  e.  O )
98ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  A  e.  O )
109, 6jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( A  e.  O  /\  B  e.  O ) )
113, 7, 103jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  /\  (
c  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
) ) )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) )
13 simpl3r 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
)
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) )
15 simpl3l 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  G  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )
1712, 14, 163jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )  /\  G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
) )
18 idmon.1 . . . . . . . . . 10  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
19 idmon.2 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( hom `  T
)
20 idmon.3 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( o_ `  T
)
2118, 19, 20cmpassoh 25801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( c  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O ) )  -> 
( ( f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )  /\  G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( G R ( F R f ) )  =  ( ( G R F ) R f ) ) )
2211, 17, 21sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( G R ( F R f ) )  =  ( ( G R F ) R f ) )
23 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) )
2423, 14, 163jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )  /\  G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
) )
2518, 19, 20cmpassoh 25801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( c  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O ) )  -> 
( ( g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )  /\  G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) )
2611, 24, 25sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) )
2722, 26eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( G R ( F R f ) )  =  ( G R ( F R g ) )  <->  ( ( G R F ) R f )  =  ( ( G R F ) R g ) ) )
28 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( G R F )  =  ( J `  B ) )
2928oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( G R F ) R f )  =  ( ( J `  B
) R f ) )
3028oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( G R F ) R g )  =  ( ( J `  B
) R g ) )
3129, 30eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( (
( G R F ) R f )  =  ( ( G R F ) R g )  <->  ( ( J `  B ) R f )  =  ( ( J `  B ) R g ) ) )
3231biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( (
( G R F ) R f )  =  ( ( G R F ) R g )  ->  (
( J `  B
) R f )  =  ( ( J `
 B ) R g ) ) )
33 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  c  e.  O )  ->  T  e.  Cat OLD  )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  c  e.  O )  ->  c  e.  O )
355adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  c  e.  O )  ->  B  e.  O )
36 idmon.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( id_ `  T
)
3718, 19, 36, 20cmphmia 25798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  c  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  ->  (
( J `  B
) R f )  =  f ) )
3833, 34, 35, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  c  e.  O )  ->  (
f  e.  ( H `
 <. c ,  B >. )  ->  ( ( J `  B ) R f )  =  f ) )
3938impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  -> 
( ( J `  B ) R f )  =  f )
4039adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( J `  B ) R f )  =  f )
4136eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( id_ `  T )  =  J
4241dmeqi 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( id_ `  T )  =  dom  J
4318, 42eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  O  =  dom  J
4443eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  O  <->  B  e.  dom  J )
4544biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  O  ->  B  e.  dom  J )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  B  e.  dom  J
)
47463ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  ->  B  e.  dom  J )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  B  e.  dom  J )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  B  e.  dom  J )
50 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
51 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  -> 
c  e.  O )
525adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  ->  B  e.  O )
53 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
5418, 53, 19ehm 25791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  c  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  ->  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
5550, 51, 52, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  ->  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
5655imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
573, 49, 563jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  dom  J  /\  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
5918, 58, 19cehm 25793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  c  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) )
6050, 51, 52, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) )
6160imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  B )
62 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
63 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  J  =  dom  J
6453, 62, 63, 36, 20, 58cmpida 25774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  dom  J  /\  g  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B  ->  ( ( J `
 B ) R g )  =  g ) )
6557, 61, 64sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( J `  B ) R g )  =  g )
6640, 65eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( (
( J `  B
) R f )  =  ( ( J `
 B ) R g )  <->  f  =  g ) )
6732, 66sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( (
( G R F ) R f )  =  ( ( G R F ) R g )  ->  f  =  g ) )
6827, 67sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( G R ( F R f ) )  =  ( G R ( F R g ) )  ->  f  =  g ) )
691, 68syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B ) )  /\  ( c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
) )  /\  g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
)  ->  ( ( F R f )  =  ( F R g )  ->  f  =  g ) )
7069ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  /\  (
c  e.  O  /\  f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ) )  ->  A. g  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ( ( F R f )  =  ( F R g )  ->  f  =  g ) )
7170ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  A. c  e.  O  A. f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) A. g  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ( ( F R f )  =  ( F R g )  ->  f  =  g ) )
7218, 19, 20ismonc 25814 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. c  e.  O  A. f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) A. g  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) ( ( F R f )  =  ( F R g )  ->  f  =  g ) ) )
732, 5, 8, 13, 72syl121anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T
)  <->  A. c  e.  O  A. f  e.  ( H `  <. c ,  B >. ) A. g  e.  ( H `  <. c ,  B >. )
( ( F R f )  =  ( F R g )  ->  f  =  g ) ) )
7471, 73mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. )
) )  /\  ( G R F )  =  ( J `  B
) )  ->  F  e.  ( MonoOLD  `  T )
)
7574ex 423 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  ( G  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  A >. ) ) )  ->  ( ( G R F )  =  ( J `  B
)  ->  F  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715    Cat
OLD ccatOLD 25752   homchomOLD 25785   MonoOLD cmonOLD 25804
This theorem is referenced by:  immon  25818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753  df-homOLD 25786  df-monOLD 25806
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