MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Unicode version

Theorem idnghm 18770
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
idnghm  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( S
normOp S )  =  ( S normOp S )
2 idnghm.2 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
41, 2, 3nmoid 18769 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  1 )
5 1re 9083 . . . 4  |-  1  e.  RR
64, 5syl6eqel 2524 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
7 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e. 
{ ( 0g `  S ) }  <->  x  e.  V ) )
87biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  { ( 0g `  S
) } )
9 elsni 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  S ) }  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
1110mpteq2dva 4288 . . . . . . 7  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e.  V  |->  x )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g `  S
) ) )
12 mptresid 5188 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  |->  x )  =  (  _I  |`  V )
1312eqcomi 2440 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  V )  =  ( x  e.  V  |->  x )
14 fconstmpt 4914 . . . . . . 7  |-  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g
`  S ) )
1511, 13, 143eqtr4g 2493 . . . . . 6  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  (  _I  |`  V )  =  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
1615fveq2d 5725 . . . . 5  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) ) )
171, 2, 3nmo0 18762 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp
)  ->  ( ( S normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )  =  0 )
1817anidms 627 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) )  =  0 )
1916, 18sylan9eqr 2490 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  0 )
20 0re 9084 . . . 4  |-  0  e.  RR
2119, 20syl6eqel 2524 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
22 ngpgrp 18639 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
232, 3grpidcl 14826 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  S )  e.  V
)
2524snssd 3936 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  { ( 0g
`  S ) } 
C_  V )
26 sspss 3439 . . . 4  |-  ( { ( 0g `  S
) }  C_  V  <->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S ) }  =  V ) )
2725, 26sylib 189 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S
) }  =  V ) )
286, 21, 27mpjaodan 762 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
29 id 20 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e. NrmGrp )
302idghm 15014 . . . 4  |-  ( S  e.  Grp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
3122, 30syl 16 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
321isnghm2 18751 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp  /\  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )  ->  (
(  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
)  <->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3329, 31, 32mpd3an23 1281 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S )  <->  ( ( S normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3428, 33mpbird 224 1  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3313    C. wpss 3314   {csn 3807    e. cmpt 4259    _I cid 4486    X. cxp 4869    |` cres 4873   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   RRcr 8982   0cc0 8983   1c1 8984   Basecbs 13462   0gc0g 13716   Grpcgrp 14678    GrpHom cghm 14996  NrmGrpcngp 18618   normOpcnmo 18732   NGHom cnghm 18733
This theorem is referenced by:  idnmhm  18781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ico 10915  df-topgen 13660  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-grp 14805  df-ghm 14997  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-xms 18343  df-ms 18344  df-nm 18623  df-ngp 18624  df-nmo 18735  df-nghm 18736
  Copyright terms: Public domain W3C validator