Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomodle Structured version   Unicode version

Theorem idomodle 27489
Description: Limit on the number of  N-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomodle.g  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
idomodle.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
idomodle.o  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
idomodle  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  N
)
Distinct variable groups:    x, B    x, N    x, R
Allowed substitution hints:    G( x)    O( x)

Proof of Theorem idomodle
StepHypRef Expression
1 idomodle.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2506 . . . 4  |-  B  e. 
_V
43rabex 4354 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  _V
5 hashxrcl 11640 . . 3  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)  e.  RR* )
64, 5mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  e.  RR* )
7 fvex 5742 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
87rabex 4354 . . 3  |-  { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V
9 hashxrcl 11640 . . 3  |-  ( { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  e.  RR* )
108, 9mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  e.  RR* )
11 nnre 10007 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1211rexrd 9134 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR* )
1312adantl 453 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR* )
14 isidom 16364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
1514simplbi 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  CRing )
1615adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  CRing )
17 crngrng 15674 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
20 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
21 idomodle.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
2220, 21unitgrp 15772 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Grp )
2319, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
24 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
25 nnz 10303 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2625ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  ZZ )
27 idomodle.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
28 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
29 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
301, 27, 28, 29oddvds 15185 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  x )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3123, 24, 26, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( N
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
32 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
3320, 32unitsubm 15775 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
35 nnnn0 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3635ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
3720, 21unitgrpbas 15771 . . . . . . . . . 10  |-  (Unit `  R )  =  (
Base `  G )
381, 37eqtr4i 2459 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (Unit `  R )
3924, 38syl6eleq 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  (Unit `  R )
)
40 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  (mulGrp `  R ) )  =  (.g `  (mulGrp `  R
) )
4140, 21, 28submmulg 14925 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R
) )  /\  N  e.  NN0  /\  x  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( N
(.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( N (.g `  G ) x ) )
4234, 36, 39, 41syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( N (.g `  G ) x ) )
43 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
4420, 21, 43unitgrpid 15774 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  G
) )
4519, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G
) )
4642, 45eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R )  <->  ( N
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4731, 46bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( N
(.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) ) )
4847rabbidva 2947 . . . 4  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =  {
x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) } )
4948fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  =  (
# `  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
50 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5150, 38unitss 15765 . . . . . 6  |-  B  C_  ( Base `  R )
52 rabss2 3426 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( Base `  R
)  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
5351, 52mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
54 ssdomg 7153 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  ->  { x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) }  ~<_  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) } ) )
558, 53, 54mpsyl 61 . . . 4  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  ~<_  { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
56 hashdomi 11654 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) }  ~<_  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) }  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
5849, 57eqbrtrd 4232 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
59 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e. IDomn )
6050, 43rngidcl 15684 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
6118, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
62 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
6350, 40idomrootle 27488 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) } )  <_  N )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  N )
656, 10, 13, 58, 64xrletrd 10752 1  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~<_ cdom 7107   RR*cxr 9119    <_ cle 9121   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   #chash 11618    || cdivides 12852   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689  SubMndcsubmnd 14737   odcod 15163  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662  Unitcui 15744  Domncdomn 16340  IDomncidom 16341
This theorem is referenced by:  idomsubgmo  27491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-od 15167  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-vr1 16577  df-ply1 16578  df-evl1 16580  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-mdeg 19978  df-deg1 19979  df-mon1 20053  df-uc1p 20054  df-q1p 20055  df-r1p 20056
  Copyright terms: Public domain W3C validator