Theorem idssen 4406

Description: Equality implies equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- I (_ ~~

Proof of Theorem idssen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 3273	. 2 |- Rel I
2		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
3	2	ideq 3277	. . . 4 |- (xIy <-> x = y)
4		f1oi 3717	. . . . . 6 |- (I |` x):x-1-1-onto->x
5		f1oeq3 3686	. . . . . 6 |- (x = y -> ((I |` x):x-1-1-onto->x <-> (I |` x):x-1-1-onto->y))
6	4, 5	mpbii 193	. . . . 5 |- (x = y -> (I |` x):x-1-1-onto->y)
7		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	f1oen 4398	. . . . 5 |- ((I |` x):x-1-1-onto->y -> x ~~ y)
9	6, 8	syl 10	. . . 4 |- (x = y -> x ~~ y)
10	3, 9	sylbi 199	. . 3 |- (xIy -> x ~~ y)
11		df-br 2620	. . 3 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
12		df-br 2620	. . 3 |- (x ~~ y <-> <.x, y>. e. ~~ )
13	10, 11, 12	3imtr3 218	. 2 |- (<.x, y>. e. I -> <.x, y>. e. ~~ )
14	1, 13	relssi 3248	1 |- I (_ ~~

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831   |` cres 3172  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  dmen 4407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368

Copyright terms: Public domain