MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idssen Unicode version

Theorem idssen 6906
Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
idssen  |-  _I  C_  ~~

Proof of Theorem idssen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reli 4813 . 2  |-  Rel  _I
2 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
32ideq 4836 . . . 4  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
4 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
5 eqeng 6895 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  =  y  ->  x  ~~  y ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  x  ~~  y )
73, 6sylbi 187 . . 3  |-  ( x  _I  y  ->  x  ~~  y )
8 df-br 4024 . . 3  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
9 df-br 4024 . . 3  |-  ( x 
~~  y  <->  <. x ,  y >.  e.  ~~  )
107, 8, 93imtr3i 256 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ~~  )
111, 10relssi 4778 1  |-  _I  C_  ~~
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    _I cid 4304    ~~ cen 6860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator