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Theorem idsubfun 25961
Description: The identity restricted to the morphism of a subcategory  U is a functor from the subcategory to the supercategory. It is called the inclusion functor. JFM CAT2 th. 19. (Contributed by FL, 5-Oct-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
idsubfun.1  |-  M  =  dom  ( dom_ `  U
)
Assertion
Ref Expression
idsubfun  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  (  _I  |`  M )  e.  (
Func OLD `  <. U ,  T >. ) )

Proof of Theorem idsubfun
Dummy variables  m  n  o  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5527 . . . 4  |-  (  _I  |`  M ) : M -1-1-onto-> M
2 f1of 5488 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  M ) : M -1-1-onto-> M  ->  (  _I  |`  M ) : M --> M )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  (  _I  |`  M ) : M --> M
4 eqid 2296 . . . 4  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
5 idsubfun.1 . . . 4  |-  M  =  dom  ( dom_ `  U
)
64, 5morsubc 25958 . . 3  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  M  C_  dom  ( dom_ `  T )
)
7 fss 5413 . . 3  |-  ( ( (  _I  |`  M ) : M --> M  /\  M  C_  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
(  _I  |`  M ) : M --> dom  ( dom_ `  T ) )
83, 6, 7sylancr 644 . 2  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  (  _I  |`  M ) : M --> dom  ( dom_ `  T
) )
9 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  dom  ( id_ `  T )  =  dom  ( id_ `  T
)
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  dom  ( id_ `  U )  =  dom  ( id_ `  U
)
119, 10obsubc2 25953 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  dom  ( id_ `  U )  C_  dom  ( id_ `  T ) )
1211sselda 3193 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  o  e.  dom  ( id_ `  T
) )
13 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( id_ `  U ) `
 o )  e. 
_V
14 fvi 5595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  U
) `  o )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  U ) `
 o ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  U
) `  o )
16 subctct 25957 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  U  e.  Cat OLD  )
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( id_ `  U )  =  ( id_ `  U )
185, 10, 17jdmo 25881 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U ) )  ->  ( ( id_ `  U ) `  o
)  e.  M )
1916, 18sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  U
) `  o )  e.  M )
20 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  U
) `  o )  e.  M  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  o )
)  =  (  _I 
`  ( ( id_ `  U ) `  o
) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  (  _I  `  ( ( id_ `  U ) `
 o ) ) )
22 besubbeca 25951 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  T  e.  Cat OLD  )
23 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( id_ `  T )  =  ( id_ `  T )
254, 23, 9, 24idc 25870 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( id_ `  T ) : dom  ( id_ `  T ) --> dom  ( dom_ `  T ) )
26 ffun 5407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( id_ `  T ) : dom  ( id_ `  T ) --> dom  ( dom_ `  T )  ->  Fun  ( id_ `  T
) )
2722, 25, 263syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  Fun  ( id_ `  T ) )
2827adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  Fun  ( id_ `  T ) )
2924, 17idsubc 25954 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T ) )
3029adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T ) )
31 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )
32 funssfv 5559 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  ( id_ `  T
)  /\  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U ) )  -> 
( ( id_ `  T
) `  o )  =  ( ( id_ `  U ) `  o
) )
3328, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  o )  =  ( ( id_ `  U ) `  o
) )
3415, 21, 333eqtr4a 2354 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  o )
)
35 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( p  =  o  ->  (
( id_ `  T
) `  p )  =  ( ( id_ `  T ) `  o
) )
3635eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( p  =  o  ->  (
( (  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  p )  <->  ( (  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  o )
) )
3736rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  dom  ( id_ `  T )  /\  ( (  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  o )
)  ->  E. p  e.  dom  ( id_ `  T
) ( (  _I  |`  M ) `  (
( id_ `  U
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 p ) )
3812, 34, 37syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  o  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  E. p  e.  dom  ( id_ `  T
) ( (  _I  |`  M ) `  (
( id_ `  U
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 p ) )
3938ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  A. o  e.  dom  ( id_ `  U
) E. p  e. 
dom  ( id_ `  T
) ( (  _I  |`  M ) `  (
( id_ `  U
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 p ) )
4016adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  U  e.  Cat OLD  )
415eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  M  <->  m  e.  dom  ( dom_ `  U
) )
4241biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  M  ->  m  e.  dom  ( dom_ `  U
) )
43 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( dom_ `  U )  =  dom  ( dom_ `  U
)
44 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom_ `  U )  =  (
dom_ `  U )
4543, 10, 44dmo 25879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  U ) )  ->  ( ( dom_ `  U ) `  m
)  e.  dom  ( id_ `  U ) )
4616, 42, 45syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( dom_ `  U ) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U ) )
475, 10, 17jdmo 25881 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  ( ( dom_ `  U
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  e.  M )
4840, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  e.  M )
49 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  e.  M  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) ) )
5048, 49syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) ) )
51 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( id_ `  U ) `
 ( ( dom_ `  U ) `  m
) )  e.  _V
52 fvi 5595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  e. 
_V  ->  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )
5351, 52mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (  _I  `  ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )
544, 23, 9, 24domc 25868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
dom_ `  T ) : dom  ( dom_ `  T
) --> dom  ( id_ `  T ) )
55 ffun 5407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
dom_ `  T ) : dom  ( dom_ `  T
) --> dom  ( id_ `  T )  ->  Fun  ( dom_ `  T )
)
5622, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  Fun  ( dom_ `  T ) )
5756adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  Fun  ( dom_ `  T )
)
5823, 44domsubc 25955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( dom_ `  U )  C_  ( dom_ `  T ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  ( dom_ `  U )  C_  ( dom_ `  T )
)
6042adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  m  e.  dom  ( dom_ `  U
) )
61 funssfv 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  ( dom_ `  T
)  /\  ( dom_ `  U )  C_  ( dom_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( dom_ `  U ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  m )  =  ( ( dom_ `  U ) `  m
) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( dom_ `  T ) `  m )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)
6362eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( dom_ `  U ) `  m )  =  ( ( dom_ `  T
) `  m )
)
6463fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) ) )
6527adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  Fun  ( id_ `  T ) )
6629adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T ) )
67 funssfv 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( id_ `  T
)  /\  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  U
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )
6865, 66, 46, 67syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )
69 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 m )  =  (  _I  `  m
) )
7069adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 m )  =  (  _I  `  m
) )
71 fvi 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  M  ->  (  _I  `  m )  =  m )
7271adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (  _I  `  m )  =  m )
7370, 72eqtr2d 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  m  =  ( (  _I  |`  M ) `  m
) )
7473fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( dom_ `  T ) `  m )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( (  _I  |`  M ) `  m ) ) )
7574fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
7664, 68, 753eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
7750, 53, 763eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
7877ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
79 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( cod_ `  U )  =  (
cod_ `  U )
805, 10, 79cdmo 25880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  m  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  U ) `  m
)  e.  dom  ( id_ `  U ) )
8116, 80sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( cod_ `  U ) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U ) )
825, 10, 17jdmo 25881 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  ( ( cod_ `  U
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  e.  M )
8340, 81, 82syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  e.  M )
84 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  e.  M  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  (
( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) ) )
86 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( id_ `  U ) `
 ( ( cod_ `  U ) `  m
) )  e.  _V
87 fvi 5595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  e. 
_V  ->  (  _I  `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  U ) `  (
( cod_ `  U ) `  m ) ) )
8886, 87mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (  _I  `  ( ( id_ `  U ) `  (
( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  U ) `  (
( cod_ `  U ) `  m ) ) )
89 funssfv 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( id_ `  T
)  /\  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T )  /\  ( ( cod_ `  U
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )
9089eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( id_ `  T
)  /\  ( id_ `  U )  C_  ( id_ `  T )  /\  ( ( cod_ `  U
) `  m )  e.  dom  ( id_ `  U
) )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )
9165, 66, 81, 90syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )
92 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
934, 23, 9, 24, 92codc 25869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
cod_ `  T ) : dom  ( dom_ `  T
) --> dom  ( id_ `  T ) )
94 ffun 5407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
cod_ `  T ) : dom  ( dom_ `  T
) --> dom  ( id_ `  T )  ->  Fun  ( cod_ `  T )
)
9522, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  Fun  ( cod_ `  T ) )
9695adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  Fun  ( cod_ `  T )
)
9792, 79codsubc 25956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( cod_ `  U )  C_  ( cod_ `  T ) )
9897adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  ( cod_ `  U )  C_  ( cod_ `  T )
)
99 morcat 25883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  Cat OLD  ->  dom  ( dom_ `  U
)  =  dom  ( cod_ `  U ) )
1005, 99syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Cat OLD  ->  M  =  dom  ( cod_ `  U ) )
10116, 100syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  M  =  dom  ( cod_ `  U
) )
102101eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( m  e.  M  <->  m  e.  dom  ( cod_ `  U )
) )
103102biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  m  e.  dom  ( cod_ `  U
) )
104 funssfv 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  ( cod_ `  T
)  /\  ( cod_ `  U )  C_  ( cod_ `  T )  /\  m  e.  dom  ( cod_ `  U ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  m )  =  ( ( cod_ `  U ) `  m
) )
10596, 98, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( cod_ `  T ) `  m )  =  ( ( cod_ `  U
) `  m )
)
106105eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( cod_ `  U ) `  m )  =  ( ( cod_ `  T
) `  m )
)
107106fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )
10873fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( cod_ `  T ) `  m )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( (  _I  |`  M ) `  m ) ) )
109108fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
11091, 107, 1093eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
11185, 88, 1103eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  (
( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
112111ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )
11378, 112jca 518 . . 3  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( A. m  e.  M  (
(  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) ) )
114 pm3.2an3 1131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Cat OLD  ->  ( n  e.  M  -> 
( m  e.  M  ->  ( U  e.  Cat OLD 
/\  n  e.  M  /\  m  e.  M
) ) ) )
115114com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  Cat OLD  ->  ( m  e.  M  -> 
( n  e.  M  ->  ( U  e.  Cat OLD 
/\  n  e.  M  /\  m  e.  M
) ) ) )
11616, 115syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( m  e.  M  ->  ( n  e.  M  ->  ( U  e.  Cat OLD  /\  n  e.  M  /\  m  e.  M )
) ) )
117116imp31 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  ( 
SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  /\  n  e.  M
)  ->  ( U  e.  Cat OLD  /\  n  e.  M  /\  m  e.  M ) )
118117adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( U  e.  Cat OLD  /\  n  e.  M  /\  m  e.  M ) )
119 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cod_ `  U
) `  n )  =  ( ( dom_ `  U ) `  m
)  ->  ( ( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)
120119eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cod_ `  U
) `  n )  =  ( ( dom_ `  U ) `  m
)  ->  ( ( dom_ `  U ) `  m )  =  ( ( cod_ `  U
) `  n )
)
121120adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( ( dom_ `  U ) `  m )  =  ( ( cod_ `  U
) `  n )
)
122 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( o_
`  U )  =  ( o_ `  U
)
1235, 44, 79, 122cmpmorp 25882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  n  e.  M  /\  m  e.  M )  ->  ( ( ( dom_ `  U ) `  m
)  =  ( (
cod_ `  U ) `  n )  ->  (
m ( o_ `  U ) n )  e.  M ) )
124118, 121, 123sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( m
( o_ `  U
) n )  e.  M )
125 fvres 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( m ( o_ `  U ) n )  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( m ( o_ `  U ) n ) )  =  (  _I  `  (
m ( o_ `  U ) n ) ) )
126124, 125syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( m ( o_
`  U ) n ) )  =  (  _I  `  ( m ( o_ `  U
) n ) ) )
127 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( m ( o_ `  U
) n )  e. 
_V
128 fvi 5595 . . . . . . . 8  |-  ( ( m ( o_ `  U ) n )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( m ( o_ `  U ) n ) )  =  ( m ( o_
`  U ) n ) )
129127, 128mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  (  _I  `  ( m ( o_
`  U ) n ) )  =  ( m ( o_ `  U ) n ) )
130 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 m )  =  m )
131130adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  M  /\  n  e.  M )  ->  ( (  _I  |`  M ) `
 m )  =  m )
132131eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  M  /\  n  e.  M )  ->  m  =  ( (  _I  |`  M ) `  m ) )
133 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 n )  =  (  _I  `  n
) )
134133adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  M  /\  n  e.  M )  ->  ( (  _I  |`  M ) `
 n )  =  (  _I  `  n
) )
135 fvi 5595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  M  ->  (  _I  `  n )  =  n )
136135adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  M  /\  n  e.  M )  ->  (  _I  `  n
)  =  n )
137134, 136eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  M  /\  n  e.  M )  ->  n  =  ( (  _I  |`  M ) `  n ) )
138132, 137jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  M  /\  n  e.  M )  ->  ( m  =  ( (  _I  |`  M ) `
 m )  /\  n  =  ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) )
139138adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  ( 
SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  /\  n  e.  M
)  ->  ( m  =  ( (  _I  |`  M ) `  m
)  /\  n  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
140139adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( m  =  ( (  _I  |`  M ) `  m
)  /\  n  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
141 oveq12 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  ( (  _I  |`  M ) `  m )  /\  n  =  ( (  _I  |`  M ) `  n
) )  ->  (
m ( o_ `  U ) n )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m ) ( o_
`  U ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( m
( o_ `  U
) n )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  U ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) )
143 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o_
`  T )  =  ( o_ `  T
)
144143cmppfc1 25884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  Fun  ( o_ `  T
) )
14522, 144syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  Fun  ( o_
`  T ) )
146145adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  Fun  ( o_ `  T ) )
147146ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  Fun  ( o_
`  T ) )
148143, 122cmpsubc 25959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( o_ `  U )  C_  (
o_ `  T )
)
149148adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
o_ `  U )  C_  ( o_ `  T
) )
150149ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( o_ `  U )  C_  (
o_ `  T )
)
151130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 m )  =  m )
152151ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  m )  =  m )
153 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 n )  =  n )
154153ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  n )  =  n )
155152, 154opeq12d 3820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  <. ( (  _I  |`  M ) `  m ) ,  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) >.  =  <. m ,  n >. )
1565, 44, 79, 122cmppfcd 25873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  n  e.  M  /\  m  e.  M )  ->  ( <. m ,  n >.  e.  dom  ( o_
`  U )  <->  ( ( dom_ `  U ) `  m )  =  ( ( cod_ `  U
) `  n )
) )
157118, 156syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( <. m ,  n >.  e.  dom  ( o_ `  U )  <-> 
( ( dom_ `  U
) `  m )  =  ( ( cod_ `  U ) `  n
) ) )
158121, 157mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  <. m ,  n >.  e.  dom  ( o_ `  U ) )
159155, 158eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  <. ( (  _I  |`  M ) `  m ) ,  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) >.  e.  dom  ( o_ `  U ) )
160 oprssopvg 25137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  (
o_ `  U )  C_  ( o_ `  T
)  /\  <. ( (  _I  |`  M ) `  m ) ,  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) >.  e.  dom  ( o_ `  U ) )  -> 
( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  U ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) )
161147, 150, 159, 160syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( (
(  _I  |`  M ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m ) ( o_
`  U ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
162142, 161eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( m
( o_ `  U
) n )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) )
163126, 129, 1623eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M
)  /\  n  e.  M )  /\  (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( m ( o_
`  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
164163exp31 587 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  (
n  e.  M  -> 
( ( ( cod_ `  U ) `  n
)  =  ( (
dom_ `  U ) `  m )  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 ( m ( o_ `  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) ) ) )
165164ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (  SubCat  `  T )  /\  m  e.  M )  ->  A. n  e.  M  ( (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )  ->  ( (  _I  |`  M ) `
 ( m ( o_ `  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) ) )
166165ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  A. m  e.  M  A. n  e.  M  ( (
( cod_ `  U ) `  n )  =  ( ( dom_ `  U
) `  m )  ->  ( (  _I  |`  M ) `
 ( m ( o_ `  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `  m
) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `  n ) ) ) )
16739, 113, 1663jca 1132 . 2  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( A. o  e.  dom  ( id_ `  U ) E. p  e.  dom  ( id_ `  T
) ( (  _I  |`  M ) `  (
( id_ `  U
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  T ) `
 p )  /\  ( A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  (
( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )  /\  A. m  e.  M  A. n  e.  M  (
( ( cod_ `  U
) `  n )  =  ( ( dom_ `  U ) `  m
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( m ( o_
`  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) ) ) )
16810, 5, 44, 79, 17, 122, 9, 4, 23, 92, 24, 143isfunb 25938 . . 3  |-  ( ( U  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  )  ->  ( (  _I  |`  M )  e.  (
Func OLD `  <. U ,  T >. )  <->  ( (  _I  |`  M ) : M --> dom  ( dom_ `  T )  /\  ( A. o  e.  dom  ( id_ `  U ) E. p  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  p )  /\  ( A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )  /\  A. m  e.  M  A. n  e.  M  (
( ( cod_ `  U
) `  n )  =  ( ( dom_ `  U ) `  m
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( m ( o_
`  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) ) ) ) ) )
16916, 22, 168syl2anc 642 . 2  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  ( (  _I  |`  M )  e.  ( Func OLD `  <. U ,  T >. )  <->  ( (  _I  |`  M ) : M --> dom  ( dom_ `  T )  /\  ( A. o  e.  dom  ( id_ `  U ) E. p  e.  dom  ( id_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 ( ( id_ `  U ) `  o
) )  =  ( ( id_ `  T
) `  p )  /\  ( A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M  ( (  _I  |`  M ) `  ( ( id_ `  U
) `  ( ( cod_ `  U ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ) ) )  /\  A. m  e.  M  A. n  e.  M  (
( ( cod_ `  U
) `  n )  =  ( ( dom_ `  U ) `  m
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  ( m ( o_
`  U ) n ) )  =  ( ( (  _I  |`  M ) `
 m ) ( o_ `  T ) ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) ) ) ) ) )
1708, 167, 169mpbir2and 888 1  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  (  _I  |`  M )  e.  (
Func OLD `  <. U ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat
OLD ccatOLD 25855   Func
OLDcfuncOLD 25934    SubCat csubcat 25946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-alg 25819  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-ded 25838  df-catOLD 25856  df-funcOLD 25936  df-subcat 25947
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