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Theorem iepiclem 25823
Description: Lemma for isepic 25824. (Contributed by FL, 6-Oct-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
iepiclem.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
iepiclem.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
iepiclem.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
iepiclem  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c,
g, h    B, c,
g, h    F, c,
g, h    H, c,
g, h    O, c,
g, h    R, c    T, c, g, h
Allowed substitution hints:    R( g, h)

Proof of Theorem iepiclem
StepHypRef Expression
1 iepiclem.1 . . . . . . 7  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
3 iepiclem.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( hom `  T
)
41, 2, 3ehm 25791 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
543expib 1154 . . . . 5  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) ) )
653imp 1145 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
8 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ g ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)
9 nfra2 2597 . . . . . 6  |-  F/ g A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )
108, 9nfan 1771 . . . . 5  |-  F/ g ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )
11 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ h
( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)
12 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ h O
13 nfra2 2597 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. g  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )
1412, 13nfral 2596 . . . . . . 7  |-  F/ h A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )
1511, 14nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ h
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )
16 rsp2 2605 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
1716ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  ->  A. c  e.  O  ( (
g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
192, 1, 18cdmo 25777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  g  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O )
2019ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O ) )
2120adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  e.  O
) )
22213ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  e.  O
) )
2322imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O )
24 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  ->  <. B , 
c >.  =  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )
2524fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  ->  ( H `  <. B ,  c
>. )  =  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. ) )
2625eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  ->  ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  <->  g  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )
) )
2725eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  ->  ( h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  <->  h  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )
) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  <->  ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. ) ) ) )
292, 1, 18cdmo 25777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  e.  O )
3029ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O ) )
3120, 30anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O ) ) )
32313ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
) ) )
3332ancrd 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O )  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) ) ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
351, 2, 34, 18, 3ishomd 25790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O )  ->  (
g  e.  ( H `
 <. B ,  ( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) )
36353exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( B  e.  O  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  -> 
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) ) )
3736com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )  <->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) ) ) ) )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  -> 
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) ) )
3938impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
) )  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )  <->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) ) ) )
40393adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  -> 
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
4140com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
4342impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) )
441, 2, 34, 18, 3ishomd 25790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O )  ->  (
h  e.  ( H `
 <. B ,  ( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) )
45443exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( B  e.  O  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  -> 
( h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) ) )
4645com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )  <->  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) ) ) ) )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  -> 
( h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) ) )
4847impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
) )  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )  <->  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) ) ) )
49483adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  -> 
( h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
5049com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
5251impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O ) )  -> 
( h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) )
5343, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O ) )  -> 
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. ) )  <->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
5453adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( (
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) ) )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. ) )  <->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) ) ) )
551, 2, 34, 18, 3ishomd 25790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  F )  =  A  /\  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  =  B ) ) )
5655biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  A  /\  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  =  B ) ) )
57563expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) ) ) )
58573imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) )
59 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
6059eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  <->  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
61603anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  <->  ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) ) )
62 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
6362eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  <->  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
64633anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  <->  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) ) )
6561, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) )  <-> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) )  /\  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) ) ) )
66 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  <->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h ) )
6766biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
)
68673ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
)
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
) )
70 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )
71 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) )  -> 
( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )
7269, 70, 713jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) )  -> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
73 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
74 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
75 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)
7673, 74, 753jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )
77 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
78 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
79 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  <->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) )
8079biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)
81803ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)
8281adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)
8377, 78, 823jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )
8476, 83jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  /\  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )  ->  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) ) )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) ) ) ) )
8672, 85impbid2 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) )  /\  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
8765, 86sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) )  <-> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) ) )
8887ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
89883ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
9058, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
9190com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
9291adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  e.  O  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  e.  O )  /\  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ) )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
9392impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( (
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) ) )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  g )
)  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  g ) ) )  <-> 
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) ) )
9454, 93bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( (
( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) ) )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( (
cod_ `  T ) `  g ) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. ) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
9594ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  e.  O  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  e.  O
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. ) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
9633, 95syld 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. B , 
( ( cod_ `  T
) `  g ) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. ) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
9796imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  ( ( cod_ `  T ) `  g
) >. ) )  <->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
9828, 97sylan9bbr 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  <->  ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
9998imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )  /\  c  =  ( ( cod_ `  T ) `  g
) )  ->  (
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  <->  ( (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
10023, 99rspcdv 2887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( A. c  e.  O  ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >.
)  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  (
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
10117, 100syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )  -> 
( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  ->  (
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
102101impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
10315, 102alrimi 1745 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  A. h ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
10410, 103alrimi 1745 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
105 r2al 2580 . . . 4  |-  ( A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) )  <->  A. g A. h
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )
106104, 105sylibr 203 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
1077, 106jca 518 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  -> 
( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
108107ex 423 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715    Cat
OLD ccatOLD 25752   homchomOLD 25785
This theorem is referenced by:  isepic  25824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753  df-homOLD 25786
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