MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Unicode version

Theorem iexpcyc 11412
Description: Taking  _i to the  K-th power is the same as using the  K  mod  4 -th power instead, by i4 11410. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zre 10218 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2 4re 10005 . . . . 5  |-  4  e.  RR
3 4pos 10018 . . . . 5  |-  0  <  4
42, 3elrpii 10547 . . . 4  |-  4  e.  RR+
5 modval 11179 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  -> 
( K  mod  4
)  =  ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )
61, 4, 5sylancl 644 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
76oveq2d 6036 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
8 4nn 10067 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
98nnzi 10237 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
10 nndivre 9967 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  /  4
)  e.  RR )
111, 8, 10sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  /  4 )  e.  RR )
1211flcld 11134 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ )
13 zmulcl 10256 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
149, 12, 13sylancr 645 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
15 ax-icn 8982 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
16 ine0 9401 . . . . 5  |-  _i  =/=  0
17 expsub 11354 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
1815, 16, 17mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
1914, 18mpdan 650 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) ) )
20 expmulz 11353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_
`  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
2115, 16, 20mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
229, 12, 21sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  ( ( _i
^ 4 ) ^
( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) )
23 i4 11410 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
2423oveq1i 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  =  ( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )
25 1exp 11336 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2612, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2724, 26syl5eq 2431 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ 4 ) ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2822, 27eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  1 )
2928oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  1
) )
30 expclz 11333 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3115, 16, 30mp3an12 1269 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3231div1d 9714 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  1 )  =  ( _i ^ K ) )
3329, 32eqtrd 2419 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
3419, 33eqtrd 2419 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
357, 34eqtrd 2419 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   _ici 8925    x. cmul 8928    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   4c4 9983   ZZcz 10214   RR+crp 10544   |_cfl 11128    mod cmo 11177   ^cexp 11309
This theorem is referenced by:  iblitg  19527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator