MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Structured version   Unicode version

Theorem iexpcyc 11477
Description: Taking  _i to the  K-th power is the same as using the  K  mod  4 -th power instead, by i4 11475. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zre 10278 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2 4re 10065 . . . . 5  |-  4  e.  RR
3 4pos 10078 . . . . 5  |-  0  <  4
42, 3elrpii 10607 . . . 4  |-  4  e.  RR+
5 modval 11244 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  -> 
( K  mod  4
)  =  ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )
61, 4, 5sylancl 644 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
76oveq2d 6089 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
8 4nn 10127 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
98nnzi 10297 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
10 nndivre 10027 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  /  4
)  e.  RR )
111, 8, 10sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  /  4 )  e.  RR )
1211flcld 11199 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ )
13 zmulcl 10316 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
149, 12, 13sylancr 645 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
15 ax-icn 9041 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
16 ine0 9461 . . . . 5  |-  _i  =/=  0
17 expsub 11419 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
1815, 16, 17mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
1914, 18mpdan 650 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) ) )
20 expmulz 11418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_
`  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
2115, 16, 20mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
229, 12, 21sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  ( ( _i
^ 4 ) ^
( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) )
23 i4 11475 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
2423oveq1i 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  =  ( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )
25 1exp 11401 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2612, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2724, 26syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ 4 ) ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2822, 27eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  1 )
2928oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  1
) )
30 expclz 11398 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3115, 16, 30mp3an12 1269 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3231div1d 9774 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  1 )  =  ( _i ^ K ) )
3329, 32eqtrd 2467 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
3419, 33eqtrd 2467 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
357, 34eqtrd 2467 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    x. cmul 8987    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   4c4 10043   ZZcz 10274   RR+crp 10604   |_cfl 11193    mod cmo 11242   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  iblitg  19652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator