MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval2 Unicode version

Theorem ig1pval2 19575
Description: Generator of the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ig1pval.g  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
ig1pval2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
Assertion
Ref Expression
ig1pval2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( G `
 {  .0.  }
)  =  .0.  )

Proof of Theorem ig1pval2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1rng 16342 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
4 ig1pval2.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
53, 4lidl0 15987 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  (LIdeal `  P
) )
62, 5syl 15 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  (LIdeal `  P
) )
7 ig1pval.g . . . 4  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
9 eqid 2296 . . . 4  |-  (Monic1p `  R
)  =  (Monic1p `  R
)
101, 7, 4, 3, 8, 9ig1pval 19574 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  {  .0.  }  e.  (LIdeal `  P ) )  -> 
( G `  {  .0.  } )  =  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
116, 10mpdan 649 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( G `
 {  .0.  }
)  =  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
12 eqid 2296 . . 3  |-  {  .0.  }  =  {  .0.  }
13 iftrue 3584 . . 3  |-  ( {  .0.  }  =  {  .0.  }  ->  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  , 
( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  .0.  )
1412, 13ax-mp 8 . 2  |-  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  .0.
1511, 14syl6eq 2344 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( G `
 {  .0.  }
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    i^i cin 3164   ifcif 3578   {csn 3653   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271   iota_crio 6313   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883   0gc0g 13416   Ringcrg 15353  LIdealclidl 15939  Poly1cpl1 16268   deg1 cdg1 19456  Monic1pcmn1 19527  idlGen1pcig1p 19531
This theorem is referenced by:  ig1pcl  19577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-psr 16114  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275  df-ig1p 19536
  Copyright terms: Public domain W3C validator