MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Structured version   Unicode version

Theorem ig1pval3 20128
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ig1pval.g  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
ig1pval3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ig1pval3.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
ig1pval3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ig1pval3.m  |-  M  =  (Monic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
ig1pval3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ig1pval.g . . . . . 6  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
3 ig1pval3.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
4 ig1pval3.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  P )
5 ig1pval3.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
6 ig1pval3.m . . . . . 6  |-  M  =  (Monic1p `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 20126 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
873adant3 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  , 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
9 simp3 960 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
109neneqd 2623 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  -.  I  =  {  .0.  } )
11 iffalse 3770 . . . . 5  |-  ( -.  I  =  {  .0.  }  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
138, 12eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  (
iota_ g  e.  (
I  i^i  M )
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
141, 4, 3, 6, 5ig1peu 20125 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E! g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
15 riotacl2 6592 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i 
M )  |  ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1713, 16eqeltrd 2516 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  e.  {
g  e.  ( I  i^i  M )  |  ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
18 elin 3516 . . . 4  |-  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i 
M )  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M ) )
1918anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  ( I  i^i  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <-> 
( ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
20 fveq2 5757 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  ( D `  g )  =  ( D `  ( G `  I ) ) )
2120eqeq1d 2450 . . . 4  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  (
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2221elrab 3098 . . 3  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i  M
)  /\  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
23 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  ( (
( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2419, 22, 233bitr4i 270 . 2  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2517, 24sylib 190 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   E!wreu 2713   {crab 2715    \ cdif 3303    i^i cin 3305   ifcif 3763   {csn 3838   `'ccnv 4906   "cima 4910   ` cfv 5483   iota_crio 6571   supcsup 7474   RRcr 9020    < clt 9151   0gc0g 13754   DivRingcdr 15866  LIdealclidl 16273  Poly1cpl1 16602   deg1 cdg1 20008  Monic1pcmn1 20079  idlGen1pcig1p 20083
This theorem is referenced by:  ig1pcl  20129  ig1pdvds  20130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-drng 15868  df-subrg 15897  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-sra 16275  df-rgmod 16276  df-lidl 16277  df-rlreg 16374  df-ascl 16405  df-psr 16448  df-mvr 16449  df-mpl 16450  df-opsr 16456  df-psr1 16607  df-vr1 16608  df-ply1 16609  df-coe1 16612  df-cnfld 16735  df-mdeg 20009  df-deg1 20010  df-mon1 20084  df-uc1p 20085  df-ig1p 20088
  Copyright terms: Public domain W3C validator