MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Unicode version

Theorem ig1pval3 20058
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ig1pval.g  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
ig1pval3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ig1pval3.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
ig1pval3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ig1pval3.m  |-  M  =  (Monic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
ig1pval3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ig1pval.g . . . . . 6  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
3 ig1pval3.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
4 ig1pval3.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  P )
5 ig1pval3.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
6 ig1pval3.m . . . . . 6  |-  M  =  (Monic1p `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 20056 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
873adant3 977 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  , 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
9 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
109neneqd 2591 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  -.  I  =  {  .0.  } )
11 iffalse 3714 . . . . 5  |-  ( -.  I  =  {  .0.  }  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
138, 12eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  (
iota_ g  e.  (
I  i^i  M )
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
141, 4, 3, 6, 5ig1peu 20055 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E! g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
15 riotacl2 6530 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i 
M )  |  ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1713, 16eqeltrd 2486 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  e.  {
g  e.  ( I  i^i  M )  |  ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
18 elin 3498 . . . 4  |-  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i 
M )  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M ) )
1918anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  ( I  i^i  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <-> 
( ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
20 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  ( D `  g )  =  ( D `  ( G `  I ) ) )
2120eqeq1d 2420 . . . 4  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  (
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2221elrab 3060 . . 3  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i  M
)  /\  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
23 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  ( (
( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2419, 22, 233bitr4i 269 . 2  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2517, 24sylib 189 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E!wreu 2676   {crab 2678    \ cdif 3285    i^i cin 3287   ifcif 3707   {csn 3782   `'ccnv 4844   "cima 4848   ` cfv 5421   iota_crio 6509   supcsup 7411   RRcr 8953    < clt 9084   0gc0g 13686   DivRingcdr 15798  LIdealclidl 16205  Poly1cpl1 16534   deg1 cdg1 19938  Monic1pcmn1 20009  idlGen1pcig1p 20013
This theorem is referenced by:  ig1pcl  20059  ig1pdvds  20060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-drng 15800  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209  df-rlreg 16306  df-ascl 16337  df-psr 16380  df-mvr 16381  df-mpl 16382  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-vr1 16540  df-ply1 16541  df-coe1 16544  df-cnfld 16667  df-mdeg 19939  df-deg1 19940  df-mon1 20014  df-uc1p 20015  df-ig1p 20018
  Copyright terms: Public domain W3C validator