MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Unicode version

Theorem ig1pval3 19775
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ig1pval.g  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
ig1pval3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ig1pval3.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
ig1pval3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ig1pval3.m  |-  M  =  (Monic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
ig1pval3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ig1pval.g . . . . . 6  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
3 ig1pval3.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
4 ig1pval3.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  P )
5 ig1pval3.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
6 ig1pval3.m . . . . . 6  |-  M  =  (Monic1p `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 19773 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
873adant3 976 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  , 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
9 simp3 958 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
109neneqd 2545 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  -.  I  =  {  .0.  } )
11 iffalse 3661 . . . . 5  |-  ( -.  I  =  {  .0.  }  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
138, 12eqtrd 2398 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  (
iota_ g  e.  (
I  i^i  M )
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
141, 4, 3, 6, 5ig1peu 19772 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E! g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
15 riotacl2 6460 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1614, 15syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i 
M )  |  ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1713, 16eqeltrd 2440 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  e.  {
g  e.  ( I  i^i  M )  |  ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
18 elin 3446 . . . 4  |-  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i 
M )  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M ) )
1918anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  ( I  i^i  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <-> 
( ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
20 fveq2 5632 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  ( D `  g )  =  ( D `  ( G `  I ) ) )
2120eqeq1d 2374 . . . 4  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  (
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2221elrab 3009 . . 3  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i  M
)  /\  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
23 df-3an 937 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  ( (
( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2419, 22, 233bitr4i 268 . 2  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2517, 24sylib 188 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   E!wreu 2630   {crab 2632    \ cdif 3235    i^i cin 3237   ifcif 3654   {csn 3729   `'ccnv 4791   "cima 4795   ` cfv 5358   iota_crio 6439   supcsup 7340   RRcr 8883    < clt 9014   0gc0g 13610   DivRingcdr 15722  LIdealclidl 16133  Poly1cpl1 16462   deg1 cdg1 19655  Monic1pcmn1 19726  idlGen1pcig1p 19730
This theorem is referenced by:  ig1pcl  19776  ig1pdvds  19777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-drng 15724  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-sra 16135  df-rgmod 16136  df-lidl 16137  df-rlreg 16234  df-ascl 16265  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-vr1 16468  df-ply1 16469  df-coe1 16472  df-cnfld 16594  df-mdeg 19656  df-deg1 19657  df-mon1 19731  df-uc1p 19732  df-ig1p 19735
  Copyright terms: Public domain W3C validator