MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Unicode version

Theorem ig1pval3 19560
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ig1pval.g  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
ig1pval3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ig1pval3.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
ig1pval3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ig1pval3.m  |-  M  =  (Monic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
ig1pval3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ig1pval.g . . . . . 6  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
3 ig1pval3.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
4 ig1pval3.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  P )
5 ig1pval3.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
6 ig1pval3.m . . . . . 6  |-  M  =  (Monic1p `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 19558 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
873adant3 975 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  , 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
9 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
109neneqd 2462 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  -.  I  =  {  .0.  } )
11 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -.  I  =  {  .0.  }  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  if ( I  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( I  i^i 
M ) ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
138, 12eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  =  (
iota_ g  e.  (
I  i^i  M )
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
141, 4, 3, 6, 5ig1peu 19557 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E! g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
15 riotacl2 6318 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( iota_ g  e.  ( I  i^i  M ) ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1614, 15syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( iota_ g  e.  ( I  i^i  M
) ( D `  g )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  { g  e.  ( I  i^i 
M )  |  ( D `  g )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
1713, 16eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( G `  I )  e.  {
g  e.  ( I  i^i  M )  |  ( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) } )
18 elin 3358 . . . 4  |-  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i 
M )  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M ) )
1918anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  ( I  i^i  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <-> 
( ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
20 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  ( D `  g )  =  ( D `  ( G `  I ) ) )
2120eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( g  =  ( G `  I )  ->  (
( D `  g
)  =  sup (
( D " (
I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2221elrab 2923 . . 3  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  ( I  i^i  M
)  /\  ( D `  ( G `  I
) )  =  sup ( ( D "
( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
23 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  ( (
( G `  I
)  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M )  /\  ( D `  ( G `
 I ) )  =  sup ( ( D " ( I 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2419, 22, 233bitr4i 268 . 2  |-  ( ( G `  I )  e.  { g  e.  ( I  i^i  M
)  |  ( D `
 g )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) }  <->  ( ( G `  I )  e.  I  /\  ( G `  I )  e.  M  /\  ( D `  ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2517, 24sylib 188 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  ( ( G `
 I )  e.  I  /\  ( G `
 I )  e.  M  /\  ( D `
 ( G `  I ) )  =  sup ( ( D
" ( I  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E!wreu 2545   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151   ifcif 3565   {csn 3640   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255   iota_crio 6297   supcsup 7193   RRcr 8736    < clt 8867   0gc0g 13400   DivRingcdr 15512  LIdealclidl 15923  Poly1cpl1 16252   deg1 cdg1 19440  Monic1pcmn1 19511  idlGen1pcig1p 19515
This theorem is referenced by:  ig1pcl  19561  ig1pdvds  19562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rlreg 16024  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-mon1 19516  df-uc1p 19517  df-ig1p 19520
  Copyright terms: Public domain W3C validator