Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  igenval Structured version   Unicode version

Theorem igenval 26625
 Description: The ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
igenval.1
igenval.2
Assertion
Ref Expression
igenval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem igenval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 igenval.1 . . . . . 6
2 igenval.2 . . . . . 6
31, 2rngoidl 26588 . . . . 5
4 sseq2 3362 . . . . . 6
54rspcev 3044 . . . . 5
63, 5sylan 458 . . . 4
7 rabn0 3639 . . . 4
86, 7sylibr 204 . . 3
9 intex 4348 . . 3
108, 9sylib 189 . 2
11 fvex 5734 . . . . . . 7
121, 11eqeltri 2505 . . . . . 6
1312rnex 5125 . . . . 5
142, 13eqeltri 2505 . . . 4
1514elpw2 4356 . . 3
16 simpl 444 . . . . . . 7
1716fveq2d 5724 . . . . . 6
18 sseq1 3361 . . . . . . 7
1918adantl 453 . . . . . 6
2017, 19rabeqbidv 2943 . . . . 5
2120inteqd 4047 . . . 4
22 fveq2 5720 . . . . . . . 8
2322, 1syl6eqr 2485 . . . . . . 7
2423rneqd 5089 . . . . . 6
2524, 2syl6eqr 2485 . . . . 5
2625pweqd 3796 . . . 4
27 df-igen 26624 . . . 4
2821, 26, 27ovmpt2x 6194 . . 3
2915, 28syl3an2br 1224 . 2
3010, 29mpd3an3 1280 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cint 4042   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  crngo 21953  cidl 26571   cigen 26623 This theorem is referenced by:  igenss  26626  igenidl  26627  igenmin  26628  igenidl2  26629  igenval2  26630 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21769  df-gid 21770  df-ablo 21860  df-rngo 21954  df-idl 26574  df-igen 26624
 Copyright terms: Public domain W3C validator