MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1 Unicode version

Theorem iihalf1 18445
Description: Map the first half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf1
StepHypRef Expression
1 2re 9831 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 remulcl 8838 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 651 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
433ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
5 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 2pos 9844 . . . . . 6  |-  0  <  2
75, 1, 6ltleii 8957 . . . . 5  |-  0  <_  2
8 mulge0 9307 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  X ) )
91, 7, 8mpanl12 663 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  -> 
0  <_  ( 2  x.  X ) )
1093adant3 975 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  X
) )
11 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
121, 6pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
13 lemuldiv2 9652 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  X )  <_ 
1  <->  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1411, 12, 13mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  1  <->  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1514biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  X
)  <_  1 )
16153adant2 974 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  <_  1 )
174, 10, 163jca 1132 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  X )  /\  (
2  x.  X )  <_  1 ) )
18 2ne0 9845 . . . 4  |-  2  =/=  0
191, 18rereccli 9541 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
205, 19elicc2i 10732 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
215, 11elicc2i 10732 . 2  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
2  x.  X )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  X
)  /\  ( 2  x.  X )  <_ 
1 ) )
2217, 20, 213imtr4i 257 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  iihalf1cn  18446  phtpycc  18505  copco  18532  pcohtpylem  18533  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcorevlem  18540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-icc 10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator