MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Structured version   Unicode version

Theorem iihalf2 18950
Description: Map the second half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 10061 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 652 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
4 1re 9082 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 resubcl 9357 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR )
763ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
8 subge0 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
93, 4, 8sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
10 2pos 10074 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 ledivmul 9875 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  X 
<->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
134, 11, 12mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  <_  X  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
149, 13bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
1514biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X )  ->  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
16153adant3 977 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
17 ax-1cn 9040 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
18172timesi 10093 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  ( 2  x.  1 )  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
21 lemul2 9855 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( X  <_ 
1  <->  ( 2  x.  X )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
224, 11, 21mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
23 lesubadd 9492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
244, 4, 23mp3an23 1271 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
253, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
2620, 22, 253bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
2726biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
28273adant2 976 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
297, 16, 283jca 1134 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 ) )
30 2ne0 10075 . . . 4  |-  2  =/=  0
311, 30rereccli 9771 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3231, 4elicc2i 10968 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
33 0re 9083 . . 3  |-  0  e.  RR
3433, 4elicc2i 10968 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
3529, 32, 343imtr4i 258 1  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   2c2 10041   [,]cicc 10911
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  18951  phtpycc  19008  copco  19035  pcohtpylem  19036  pcopt  19039  pcopt2  19040  pcorevlem  19043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-icc 10915
  Copyright terms: Public domain W3C validator