MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Unicode version

Theorem iihalf2 18830
Description: Map the second half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 10002 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9009 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 652 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
4 1re 9024 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 resubcl 9298 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR )
763ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
8 subge0 9474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
93, 4, 8sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
10 2pos 10015 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 ledivmul 9816 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  X 
<->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
134, 11, 12mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  <_  X  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
149, 13bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
1514biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X )  ->  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
16153adant3 977 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
17 ax-1cn 8982 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
18172timesi 10034 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019breq2d 4166 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  ( 2  x.  1 )  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
21 lemul2 9796 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( X  <_ 
1  <->  ( 2  x.  X )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
224, 11, 21mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
23 lesubadd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
244, 4, 23mp3an23 1271 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
253, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
2620, 22, 253bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
2726biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
28273adant2 976 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
297, 16, 283jca 1134 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 ) )
30 2ne0 10016 . . . 4  |-  2  =/=  0
311, 30rereccli 9712 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3231, 4elicc2i 10909 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
33 0re 9025 . . 3  |-  0  e.  RR
3433, 4elicc2i 10909 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
3529, 32, 343imtr4i 258 1  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   2c2 9982   [,]cicc 10852
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  18831  phtpycc  18888  copco  18915  pcohtpylem  18916  pcopt  18919  pcopt2  18920  pcorevlem  18923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-icc 10856
  Copyright terms: Public domain W3C validator