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Theorem iimulcl 18952
Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iimulcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iimulcl
StepHypRef Expression
1 remulcl 9065 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
213ad2antr1 1122 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
323ad2antl1 1119 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
4 mulge0 9535 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
543adantr3 1118 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
)
653adantl3 1115 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
)
7 an6 1263 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  <-> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  B )  /\  ( A  <_  1  /\  B  <_  1 ) ) )
8 1re 9080 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
9 lemul12a 9858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  1  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
108, 9mpanr2 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  1  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  -> 
( ( A  <_ 
1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
118, 10mpanl2 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  ( 1  x.  1 ) ) )
1211an4s 800 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  (
( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
13123impia 1150 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
)  /\  ( A  <_  1  /\  B  <_ 
1 ) )  -> 
( A  x.  B
)  <_  ( 1  x.  1 ) )
147, 13sylbi 188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) )
15 1t1e1 10116 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1614, 15syl6breq 4243 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  <_  1
)
173, 6, 163jca 1134 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  ( A  x.  B )  <_  1
) )
18 0re 9081 . . . 4  |-  0  e.  RR
1918, 8elicc2i 10966 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1
) )
2018, 8elicc2i 10966 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1
) )
2119, 20anbi12i 679 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1
)  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1
) ) )
2218, 8elicc2i 10966 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  ( A  x.  B )  <_  1
) )
2317, 21, 223imtr4i 258 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    <_ cle 9111   [,]cicc 10909
This theorem is referenced by:  iimulcn  18953  iistmd  24290  xrge0iifhom  24313  xrge0pluscn  24316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-icc 10913
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