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Theorem iimulcl 18451
Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iimulcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iimulcl
StepHypRef Expression
1 remulcl 8838 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
213ad2antr1 1120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
323ad2antl1 1117 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
4 mulge0 9307 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
543adantr3 1116 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
)
653adantl3 1113 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
)
7 an6 1261 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  <-> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  B )  /\  ( A  <_  1  /\  B  <_  1 ) ) )
8 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
9 lemul12a 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  1  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
108, 9mpanr2 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  1  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  -> 
( ( A  <_ 
1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
118, 10mpanl2 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  ( 1  x.  1 ) ) )
1211an4s 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  (
( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
13123impia 1148 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
)  /\  ( A  <_  1  /\  B  <_ 
1 ) )  -> 
( A  x.  B
)  <_  ( 1  x.  1 ) )
147, 13sylbi 187 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) )
15 1t1e1 9886 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1614, 15syl6breq 4078 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  <_  1
)
173, 6, 163jca 1132 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  ( A  x.  B )  <_  1
) )
18 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
1918, 8elicc2i 10732 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1
) )
2018, 8elicc2i 10732 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1
) )
2119, 20anbi12i 678 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1
)  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1
) ) )
2218, 8elicc2i 10732 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  ( A  x.  B )  <_  1
) )
2317, 21, 223imtr4i 257 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    <_ cle 8884   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  iimulcn  18452  iistmd  23301  xrge0iifhom  23334  xrge0pluscn  23337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-icc 10679
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