MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iimulcn Unicode version

Theorem iimulcn 18836
Description: Multiplication is a continuous function on the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
iimulcn  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem iimulcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21dfii3 18786 . . . . 5  |-  II  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) )
31cnfldtopon 18690 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
5 unitssre 10976 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
6 ax-resscn 8982 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3302 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
87a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )
9 ax-mulf 9005 . . . . . . . . 9  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
10 ffn 5533 . . . . . . . . 9  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  x.  Fn  ( CC  X.  CC ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
12 fnov 6119 . . . . . . . 8  |-  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  x.  =  (
x  e.  CC , 
y  e.  CC  |->  ( x  x.  y ) ) )
1311, 12mpbi 200 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y
) )
141mulcn 18770 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1513, 14eqeltrri 2460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
1615a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
172, 4, 8, 2, 4, 8, 16cnmpt2res 17632 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1817trud 1329 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
19 iimulcl 18835 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2019rgen2a 2717 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 0 [,] 1
) A. y  e.  ( 0 [,] 1
) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )
21 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )
2221fmpt2 6359 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) ) : ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) --> ( 0 [,] 1 ) )
23 frn 5539 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) ) : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> ( 0 [,] 1 )  ->  ran  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  C_  ( 0 [,] 1
) )
2422, 23sylbi 188 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ran  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  C_  (
0 [,] 1 ) )
2520, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  C_  ( 0 [,] 1 )
26 cnrest2 17274 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  C_  (
0 [,] 1 )  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) ) ) )
273, 25, 7, 26mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
2818, 27mpbi 200 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) )
292oveq2i 6033 . 2  |-  ( ( II  tX  II )  Cn  II )  =  ( ( II  tX  II )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,] 1 ) ) )
3028, 29eleqtrri 2462 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651    C_ wss 3265    X. cxp 4818   ran crn 4821    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930   [,]cicc 10853   ↾t crest 13577   TopOpenctopn 13578  ℂfldccnfld 16628  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212    tX ctx 17515   IIcii 18778
This theorem is referenced by:  pcorevlem  18924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-ii 18780
  Copyright terms: Public domain W3C validator