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Theorem iiner 6731
Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iiner  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    R( x)

Proof of Theorem iiner
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.2z 3543 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  E. x  e.  A  R  Er  B )
2 errel 6669 . . . . . 6  |-  ( R  Er  B  ->  Rel  R )
3 df-rel 4696 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  <->  R  C_  ( _V 
X.  _V ) )
42, 3sylib 188 . . . . 5  |-  ( R  Er  B  ->  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
54reximi 2650 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  R  Er  B  ->  E. x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
6 iinss 3953 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V )  ->  |^|_ x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
71, 5, 63syl 18 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
8 df-rel 4696 . . 3  |-  ( Rel  |^|_ x  e.  A  R  <->  |^|_
x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
97, 8sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  Rel  |^|_
x  e.  A  R
)
10 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Er  B  ->  R  Er  B )
1110ersymb 6674 . . . . . . . 8  |-  ( R  Er  B  ->  (
u R v  <->  v R u ) )
1211biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( R  Er  B  ->  (
u R v  -> 
v R u ) )
13 df-br 4024 . . . . . . 7  |-  ( u R v  <->  <. u ,  v >.  e.  R
)
14 df-br 4024 . . . . . . 7  |-  ( v R u  <->  <. v ,  u >.  e.  R
)
1512, 13, 143imtr3g 260 . . . . . 6  |-  ( R  Er  B  ->  ( <. u ,  v >.  e.  R  ->  <. v ,  u >.  e.  R
) )
1615ral2imi 2619 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  ->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R ) )
1716adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  ->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R
) )
18 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R v  <->  <. u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
19 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. u ,  v >.  e.  _V
20 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  _V  ->  ( <. u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R
) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R )
2218, 21bitri 240 . . . 4  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R v  <->  A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R
)
23 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R u  <->  <. v ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
24 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. v ,  u >.  e.  _V
25 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( <.
v ,  u >.  e. 
_V  ->  ( <. v ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R
) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( <.
v ,  u >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R )
2723, 26bitri 240 . . . 4  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R u  <->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R )
2817, 22, 273imtr4g 261 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u |^|_ x  e.  A  R v  ->  v |^|_ x  e.  A  R u ) )
2928imp 418 . 2  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  /\  u |^|_ x  e.  A  R
v )  ->  v |^|_ x  e.  A  R u )
30 r19.26 2675 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  <->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R ) )
3110ertr 6675 . . . . . . . 8  |-  ( R  Er  B  ->  (
( u R v  /\  v R w )  ->  u R w ) )
32 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( v R w  <->  <. v ,  w >.  e.  R
)
3313, 32anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( u R v  /\  v R w )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R ) )
34 df-br 4024 . . . . . . . 8  |-  ( u R w  <->  <. u ,  w >.  e.  R
)
3531, 33, 343imtr3g 260 . . . . . . 7  |-  ( R  Er  B  ->  (
( <. u ,  v
>.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  <. u ,  w >.  e.  R
) )
3635ral2imi 2619 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
3736adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v
>.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
3830, 37syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
( A. x  e.  A  <. u ,  v
>.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
39 df-br 4024 . . . . . 6  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R w  <->  <. v ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
40 opex 4237 . . . . . . 7  |-  <. v ,  w >.  e.  _V
41 eliin 3910 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  w >.  e. 
_V  ->  ( <. v ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R
) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( <.
v ,  w >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R )
4339, 42bitri 240 . . . . 5  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R w  <->  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R )
4422, 43anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w )  <->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R ) )
45 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R w  <->  <. u ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
46 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. u ,  w >.  e.  _V
47 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  w >.  e. 
_V  ->  ( <. u ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4846, 47ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( <.
u ,  w >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R )
4945, 48bitri 240 . . . 4  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R w  <->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R )
5038, 44, 493imtr4g 261 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
( u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w )  ->  u |^|_ x  e.  A  R w ) )
5150imp 418 . 2  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  /\  (
u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w ) )  ->  u |^|_ x  e.  A  R w )
52 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  R  Er  B )
53 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
5452, 53erref 6680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  u R u )
55 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( u R u  <->  <. u ,  u >.  e.  R
)
5654, 55sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  -> 
<. u ,  u >.  e.  R )
5756expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  B  ->  ( R  Er  B  ->  <.
u ,  u >.  e.  R ) )
5857ralimdv 2622 . . . . . 6  |-  ( u  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
5958com12 27 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( u  e.  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
6059adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R ) )
61 r19.26 2675 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  <->  ( A. x  e.  A  R  Er  B  /\  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
62 r19.2z 3543 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R ) )  ->  E. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R ) )
63 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e. 
_V
6463, 63opeldm 4882 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
u ,  u >.  e.  R  ->  u  e.  dom  R )
65 erdm 6670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Er  B  ->  dom  R  =  B )
6665eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Er  B  ->  (
u  e.  dom  R  <->  u  e.  B ) )
6766biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  dom  R )  ->  u  e.  B
)
6864, 67sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
6968rexlimivw 2663 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
7062, 69syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R ) )  ->  u  e.  B )
7170ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B ) )
7261, 71syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A. x  e.  A  R  Er  B  /\  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
)  ->  u  e.  B ) )
7372expdimp 426 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R  ->  u  e.  B ) )
7460, 73impbid 183 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
75 df-br 4024 . . . 4  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R u  <->  <. u ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
76 opex 4237 . . . . 5  |-  <. u ,  u >.  e.  _V
77 eliin 3910 . . . . 5  |-  ( <.
u ,  u >.  e. 
_V  ->  ( <. u ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
7876, 77ax-mp 8 . . . 4  |-  ( <.
u ,  u >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )
7975, 78bitri 240 . . 3  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R u  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )
8074, 79syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  <->  u |^|_ x  e.  A  R u ) )
819, 29, 51, 80iserd 6686 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643   |^|_ciin 3906   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   Rel wrel 4694    Er wer 6657
This theorem is referenced by:  riiner  6732  efger  15027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-er 6660
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