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Theorem iinpreima 5738
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  Fun  F )
2 cnvimass 5115 . . . . . . 7  |-  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  C_ 
dom  F
32sseli 3252 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F "
|^|_ x  e.  A  B )  ->  y  e.  dom  F )
43adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  y  e.  dom  F )
5 fvex 5622 . . . . . 6  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
6 fvimacnvi 5722 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
76adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
8 eliin 3991 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  _V  ->  (
( F `  y
)  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
) )
98biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  _V  /\  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
105, 7, 9sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
11 fvimacnv 5723 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  B  <->  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1211ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1312biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
141, 4, 10, 13syl21anc 1181 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
15 vex 2867 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
16 eliin 3991 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
1814, 17sylibr 203 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
19 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  Fun  F )
2016biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
2115, 20ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
2221adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
23 fvimacnvi 5722 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  ( `' F " B ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
2423ex 423 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( `' F " B )  ->  ( F `  y )  e.  B ) )
2524ralimdv 2698 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
) )
2619, 22, 25sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
275, 8ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B )
2826, 27sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
29 r19.2zb 3620 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
3029biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
31 cnvimass 5115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " B ) 
C_  dom  F
3231sseli 3252 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F )
3332rexlimivw 2739 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F )
3430, 33syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F ) )
3517, 34syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F ) )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  -> 
y  e.  dom  F
) )
3736imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  y  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5723 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
) )
3919, 37, 38syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
) )
4028, 39mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
)
4118, 40impbida 805 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  <->  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) ) )
4241eqrdv 2356 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864   (/)c0 3531   |^|_ciin 3987   `'ccnv 4770   dom cdm 4771   "cima 4774   Fun wfun 5331   ` cfv 5337
This theorem is referenced by:  intpreima  5739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-fv 5345
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