Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinpreima Structured version   Unicode version

Theorem iinpreima 5863
 Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 732 . . . . 5
2 cnvimass 5227 . . . . . . 7
32sseli 3346 . . . . . 6
43adantl 454 . . . . 5
5 fvex 5745 . . . . . 6
6 fvimacnvi 5847 . . . . . . 7
76adantlr 697 . . . . . 6
8 eliin 4100 . . . . . . 7
98biimpa 472 . . . . . 6
105, 7, 9sylancr 646 . . . . 5
11 fvimacnv 5848 . . . . . . 7
1211ralbidv 2727 . . . . . 6
1312biimpa 472 . . . . 5
141, 4, 10, 13syl21anc 1184 . . . 4
15 vex 2961 . . . . 5
16 eliin 4100 . . . . 5
1715, 16ax-mp 5 . . . 4
1814, 17sylibr 205 . . 3
19 simpll 732 . . . . . 6
2016biimpd 200 . . . . . . . 8
2115, 20ax-mp 5 . . . . . . 7
2221adantl 454 . . . . . 6
23 fvimacnvi 5847 . . . . . . . 8
2423ex 425 . . . . . . 7
2524ralimdv 2787 . . . . . 6
2619, 22, 25sylc 59 . . . . 5
275, 8ax-mp 5 . . . . 5
2826, 27sylibr 205 . . . 4
29 r19.2zb 3720 . . . . . . . . . 10
3029biimpi 188 . . . . . . . . 9
31 cnvimass 5227 . . . . . . . . . . 11
3231sseli 3346 . . . . . . . . . 10
3332rexlimivw 2828 . . . . . . . . 9
3430, 33syl6 32 . . . . . . . 8
3517, 34syl5bi 210 . . . . . . 7
3635adantl 454 . . . . . 6
3736imp 420 . . . . 5
38 fvimacnv 5848 . . . . 5
3919, 37, 38syl2anc 644 . . . 4
4028, 39mpbid 203 . . 3
4118, 40impbida 807 . 2
4241eqrdv 2436 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958  c0 3630  ciin 4096  ccnv 4880   cdm 4881  cima 4884   wfun 5451  cfv 5457 This theorem is referenced by:  intpreima  5864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-fv 5465
 Copyright terms: Public domain W3C validator