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Theorem iintlem1 25610
Description: Lemma for iint 25612. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
iintlem1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
) )  ->  (
y  e.  RR  ->  y  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem iintlem1
StepHypRef Expression
1 eliin 3910 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  <->  A. x  e.  RR+  y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) ) ) )
2 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  -  A
)  e.  RR )
32ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  -  A
)  e.  RR )
43recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  -  A
)  e.  CC )
54adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
y  -  A )  e.  CC )
6 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
7 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
8 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  -  A )  =  0  <-> 
y  =  A ) )
96, 7, 8syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  -  A )  =  0  <-> 
y  =  A ) )
109biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  -  A )  =  0  ->  y  =  A ) )
1110con3and 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  ( y  -  A
)  =  0 )
12 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  -  A )  =/=  0  <->  -.  (
y  -  A )  =  0 )
1311, 12sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
y  -  A )  =/=  0 )
145, 13absrpcld 11930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  ( abs `  ( y  -  A ) )  e.  RR+ )
1514rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )
16 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  RR )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR )
18 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  e.  RR )
)
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )
21 msr3 25605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR )
23 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  A  e.  RR )
2423ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  A  e.  RR )
25 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
26 ltsubadd2 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( y  -  A
)  <  0  <->  y  <  ( A  +  0 ) ) )
27 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2827recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
2928addid1d 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
3029breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
y  <  ( A  +  0 )  <->  y  <  A ) )
3126, 30bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( y  -  A
)  <  0  <->  y  <  A ) )
3231biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( y  -  A
)  <  0  ->  y  <  A ) )
33323exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( 0  e.  RR  ->  ( ( y  -  A
)  <  0  ->  y  <  A ) ) ) )
3433com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  ( ( y  -  A
)  <  0  ->  y  <  A ) ) ) )
3525, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  ->  ( ( y  -  A
)  <  0  ->  y  <  A ) ) )
3635imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  -  A )  <  0  ->  y  <  A ) )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
( y  -  A
)  <  0  ->  y  <  A ) )
3837impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
y  <  A )
39 msra3 25609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  y  <  A )  ->  y  <  ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) )
4017, 24, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
y  <  ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) )
4117, 22, 40ltnsymd 8968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  -.  ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  <  y )
4241intn3an2d 24937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  A
)  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  -.  ( y  e.  RR*  /\  ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  <  y  /\  y  <  ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) ) )
43 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
( A  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )
44 msr4 25606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR )
4616ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR )
4723ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  A  e.  RR )
48 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR*
492rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  -  A
)  e.  RR* )
5049ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  -  A
)  e.  RR* )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
y  -  A )  e.  RR* )
52 xrlenlt 8890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
y  -  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y  -  A )  <->  -.  (
y  -  A )  <  0 ) )
5348, 51, 52sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
0  <_  ( y  -  A )  <->  -.  (
y  -  A )  <  0 ) )
54 subge0 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
y  -  A )  <-> 
A  <_  y )
)
5554ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
y  -  A )  <-> 
A  <_  y )
)
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
0  <_  ( y  -  A )  <->  A  <_  y ) )
57 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =/=  A  <->  -.  y  =  A )
58 ltlen 8922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  <  y  <->  ( A  <_  y  /\  y  =/=  A ) ) )
5958biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  <_  y  /\  y  =/=  A )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  A  <  y ) )
6059ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  =/=  A  /\  A  <_  y )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  A  <  y ) )
6160com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  =/= 
A  /\  A  <_  y )  ->  A  <  y ) )
6261exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  =/=  A  ->  ( A  <_  y  ->  A  <  y ) ) )
6357, 62syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  =  A  ->  ( A  <_  y  ->  A  <  y ) ) )
6463imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  ( A  <_  y  ->  A  <  y ) )
6556, 64sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
0  <_  ( y  -  A )  ->  A  <  y ) )
6653, 65sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  ( -.  ( y  -  A
)  <  0  ->  A  <  y ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  ( -.  ( y  -  A
)  <  0  ->  A  <  y ) )
6867impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  A  <  y )
69 mslb1 25607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  A  <  y )  ->  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  < 
y )
7047, 46, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  -> 
( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  <  y )
7145, 46, 70ltnsymd 8968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  -.  y  <  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) )
7271intn3an3d 24938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  ( y  -  A )  <  0  /\  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ ) )  ->  -.  ( y  e.  RR*  /\  ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  <  y  /\  y  <  ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) ) )
7342, 72pm2.61ian 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  -.  ( y  e.  RR*  /\  ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  <  y  /\  y  <  ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) ) )
74 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR )
75 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR )  -> 
( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR )
7674, 75sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e.  RR )
7776rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* )
78 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR )  -> 
( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR )
7974, 78sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e.  RR )
8079rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* )
8177, 80jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR*  /\  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* ) )
8281ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR*  /\  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* ) ) )
8382ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR*  /\  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* ) ) )
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR*  /\  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* ) )
85 elioo1 10696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) )  e.  RR*  /\  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) )  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) )  <->  ( y  e.  RR*  /\  ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) )  <  y  /\  y  <  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) )  <->  ( y  e.  RR*  /\  ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) )  <  y  /\  y  <  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) )
8773, 86mtbird 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  /\  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )  ->  -.  y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  / 
2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) ) )
8887ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  ->  -.  y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) )
8915, 88jcai 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  -.  y  =  A )  ->  (
( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  /\  -.  y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) )
9089ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  =  A  ->  ( (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  /\  -.  y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) ) )
91 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
)  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 ) ) )
92 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
)  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  /  2 ) ) )
9391, 92oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
)  ->  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) )  =  ( ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) )
9493eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
)  ->  ( y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  <->  y  e.  ( ( A  -  (
( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) )
9594notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
)  ->  ( -.  y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) )  <->  -.  y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) ) )
9695rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 )  e.  RR+  /\  -.  y  e.  ( ( A  -  ( ( abs `  (
y  -  A ) )  /  2 ) ) (,) ( A  +  ( ( abs `  ( y  -  A
) )  /  2
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x ) ) )
9790, 96syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  =  A  ->  E. x  e.  RR+  -.  y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
) ) )
98 rexnal 2554 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  <->  -.  A. x  e.  RR+  y  e.  ( ( A  -  x
) (,) ( A  +  x ) ) )
9997, 98syl6ib 217 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  =  A  ->  -.  A. x  e.  RR+  y  e.  ( ( A  -  x
) (,) ( A  +  x ) ) ) )
10099con4d 97 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  y  e.  (
( A  -  x
) (,) ( A  +  x ) )  ->  y  =  A ) )
101100com12 27 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  y  e.  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  =  A ) )
1021, 101syl6bi 219 . . . 4  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  =  A ) ) )
103102pm2.43i 43 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  =  A ) )
104103com12 27 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) )  ->  y  =  A ) )
105104impancom 427 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
) )  ->  (
y  e.  RR  ->  y  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   |^|_ciin 3906   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  iint  25612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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