Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iintlem2 Unicode version

Theorem iintlem2 25611
Description: Lemma for iint 25612. (Contributed by FL, 23-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
iintlem2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  y  e.  RR )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem iintlem2
StepHypRef Expression
1 1rp 10358 . . . 4  |-  1  e.  RR+
2 ioossre 10712 . . . 4  |-  ( ( A  -  1 ) (,) ( A  + 
1 ) )  C_  RR
3 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( A  -  x )  =  ( A  - 
1 ) )
4 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( A  +  x )  =  ( A  + 
1 ) )
53, 4oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  -  x
) (,) ( A  +  x ) )  =  ( ( A  -  1 ) (,) ( A  +  1 ) ) )
65sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  C_  RR  <->  ( ( A  -  1 ) (,) ( A  + 
1 ) )  C_  RR ) )
76rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( A  -  1 ) (,) ( A  +  1 ) ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR+  (
( A  -  x
) (,) ( A  +  x ) ) 
C_  RR )
81, 2, 7mp2an 653 . . 3  |-  E. x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) )  C_  RR
9 iinss 3953 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  (
( A  -  x
) (,) ( A  +  x ) ) 
C_  RR  ->  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) )  C_  RR )
108, 9ax-mp 8 . 2  |-  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x
) )  C_  RR
1110sseli 3176 1  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  RR+  ( ( A  -  x ) (,) ( A  +  x )
)  ->  y  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   |^|_ciin 3906  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   RR+crp 10354   (,)cioo 10656
This theorem is referenced by:  iint  25612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-rp 10355  df-ioo 10660
  Copyright terms: Public domain W3C validator