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Theorem iinun2 3968
Description: Indexed intersection of union. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. Use intiin 3956 to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 19-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
iinun2  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    C( x)

Proof of Theorem iinun2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.32v 2686 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
2 elun 3316 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
32ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C
) )
4 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  y  e.  C )
76orbi2i 505 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  \/  y  e.  |^|_ x  e.  A  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
81, 3, 73bitr4i 268 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
9 eliin 3910 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
) ) )
104, 9ax-mp 8 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C ) )
11 elun 3316 . . 3  |-  ( y  e.  ( B  u.  |^|_
x  e.  A  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
128, 10, 113bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  y  e.  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
)
1312eqriv 2280 1  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150   |^|_ciin 3906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-un 3157  df-iin 3908
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