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Theorem iinun2 4099
Description: Indexed intersection of union. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. Use intiin 4087 to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 19-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
iinun2  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    C( x)

Proof of Theorem iinun2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.32v 2798 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
2 elun 3432 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
32ralbii 2674 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C
) )
4 vex 2903 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 eliin 4041 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  y  e.  C )
76orbi2i 506 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  \/  y  e.  |^|_ x  e.  A  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
81, 3, 73bitr4i 269 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
9 eliin 4041 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
) ) )
104, 9ax-mp 8 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C ) )
11 elun 3432 . . 3  |-  ( y  e.  ( B  u.  |^|_
x  e.  A  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
128, 10, 113bitr4i 269 . 2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  y  e.  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
)
1312eqriv 2385 1  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900    u. cun 3262   |^|_ciin 4037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ral 2655  df-v 2902  df-un 3269  df-iin 4039
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