Theorem iinuni 2615

Description: A relationship involving union and indexed intersection. Exercise 23 of [Enderton] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
iinuni	|- (A u. |^|B) = |^|_x e. B (A u. x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem iinuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.32v 1758	. . . 4 |- (A.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ A.x e. B y e. x))
2		elun 2173	. . . . 5 |- (y e. (A u. x) <-> (y e. A \/ y e. x))
3	2	ralbii 1667	. . . 4 |- (A.x e. B y e. (A u. x) <-> A.x e. B (y e. A \/ y e. x))
4		visset 1813	. . . . . 6 |- y e. V
5	4	elint2 2540	. . . . 5 |- (y e. |^|B <-> A.x e. B y e. x)
6	5	orbi2i 255	. . . 4 |- ((y e. A \/ y e. |^|B) <-> (y e. A \/ A.x e. B y e. x))
7	1, 3, 6	3bitr4r 184	. . 3 |- ((y e. A \/ y e. |^|B) <-> A.x e. B y e. (A u. x))
8		elun 2173	. . 3 |- (y e. (A u. |^|B) <-> (y e. A \/ y e. |^|B))
9		eliin 2571	. . . 4 |- (y e. V -> (y e. |^|_x e. B (A u. x) <-> A.x e. B y e. (A u. x)))
10	4, 9	ax-mp 7	. . 3 |- (y e. |^|_x e. B (A u. x) <-> A.x e. B y e. (A u. x))
11	7, 8, 10	3bitr4 183	. 2 |- (y e. (A u. |^|B) <-> y e. |^|_x e. B (A u. x))
12	11	eqriv 1474	1 |- (A u. |^|B) = |^|_x e. B (A u. x)

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   u. cun 2045  |^|cint 2533  |^|_ciin 2567

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-v 1812  df-un 2050  df-int 2534  df-iin 2569

Copyright terms: Public domain