MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iirevcn Unicode version

Theorem iirevcn 18643
Description: The reversion function is a continuous map of the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
iirevcn  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  x ) )  e.  ( II  Cn  II )

Proof of Theorem iirevcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2 dfii2 18600 . . 3  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
3 0re 8985 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 1re 8984 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 iccssre 10884 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
63, 4, 5mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
76a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
8 iirev 18642 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
98adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
101cnfldtopon 18505 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1110a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
12 ax-1cn 8942 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1312a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
1411, 11, 13cnmptc 17573 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1511cnmptid 17572 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
161subcn 18584 . . . . 5  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1716a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
1811, 14, 15, 17cnmpt12f 17577 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  x
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
191, 2, 2, 7, 7, 9, 18cnmptre 18640 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  x
) )  e.  ( II  Cn  II ) )
2019trud 1328 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  x ) )  e.  ( II  Cn  II )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1321    e. wcel 1715    C_ wss 3238    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    - cmin 9184   [,]cicc 10812   TopOpenctopn 13536  ℂfldccnfld 16593  TopOnctopon 16849    Cn ccn 17171    tX ctx 17472   IIcii 18593
This theorem is referenced by:  htpycom  18689  reparphti  18710  pcorevcl  18738  pcorevlem  18739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-ii 18595
  Copyright terms: Public domain W3C validator