MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iitopon Structured version   Unicode version

Theorem iitopon 18901
Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iitopon  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iitopon
StepHypRef Expression
1 cnxmet 18799 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2 unitssre 11034 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
3 ax-resscn 9039 . . . 4  |-  RR  C_  CC
42, 3sstri 3349 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
5 xmetres2 18383 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,] 1
) ) )
61, 4, 5mp2an 654 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( * Met `  (
0 [,] 1 ) )
7 df-ii 18899 . . 3  |-  II  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
87mopntopon 18461 . 2  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( * Met `  (
0 [,] 1 ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
96, 8ax-mp 8 1  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    C_ wss 3312    X. cxp 4868    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    - cmin 9283   [,]cicc 10911   abscabs 12031   * Metcxmt 16678  TopOnctopon 16951   IIcii 18897
This theorem is referenced by:  iitop  18902  iiuni  18903  icchmeo  18958  htpycom  18993  htpyid  18994  htpyco1  18995  htpyco2  18996  htpycc  18997  phtpycn  19000  phtpy01  19002  isphtpy2d  19004  phtpycom  19005  phtpyid  19006  phtpyco2  19007  phtpycc  19008  reparphti  19014  pcocn  19034  pcohtpylem  19036  pcoptcl  19038  pcopt  19039  pcopt2  19040  pcoass  19041  pcorevcl  19042  pcorevlem  19043  pi1xfrf  19070  pi1xfr  19072  pi1xfrcnvlem  19073  pi1xfrcnv  19074  pi1cof  19076  pi1coghm  19078  xrge0pluscn  24318  ptpcon  24912  indispcon  24913  conpcon  24914  txsconlem  24919  txscon  24920  cvxscon  24922  cvmliftlem8  24971  cvmlift2lem2  24983  cvmlift2lem3  24984  cvmlift2lem6  24987  cvmlift2lem9  24990  cvmlift2lem11  24992  cvmlift2lem12  24993  cvmliftphtlem  24996  cvmlift3lem6  25003  cvmlift3lem9  25006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-ii 18899
  Copyright terms: Public domain W3C validator