MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaco Unicode version

Theorem imaco 5178
Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
imaco  |-  ( ( A  o.  B )
" C )  =  ( A " ( B " C ) )

Proof of Theorem imaco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( B
" C ) y A x  <->  E. y
( y  e.  ( B " C )  /\  y A x ) )
2 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32elima 5017 . . 3  |-  ( x  e.  ( A "
( B " C
) )  <->  E. y  e.  ( B " C
) y A x )
4 rexcom4 2807 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  C  E. y ( z B y  /\  y A x )  <->  E. y E. z  e.  C  ( z B y  /\  y A x ) )
5 r19.41v 2693 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  C  ( z B y  /\  y A x )  <->  ( E. z  e.  C  z B y  /\  y A x ) )
65exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y E. z  e.  C  ( z B y  /\  y A x )  <->  E. y
( E. z  e.  C  z B y  /\  y A x ) )
74, 6bitri 240 . . . 4  |-  ( E. z  e.  C  E. y ( z B y  /\  y A x )  <->  E. y
( E. z  e.  C  z B y  /\  y A x ) )
82elima 5017 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  o.  B ) " C )  <->  E. z  e.  C  z ( A  o.  B )
x )
9 vex 2791 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
109, 2brco 4852 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) x  <->  E. y
( z B y  /\  y A x ) )
1110rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  C  z ( A  o.  B
) x  <->  E. z  e.  C  E. y
( z B y  /\  y A x ) )
128, 11bitri 240 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  o.  B ) " C )  <->  E. z  e.  C  E. y
( z B y  /\  y A x ) )
13 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413elima 5017 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( B " C )  <->  E. z  e.  C  z B
y )
1514anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( B
" C )  /\  y A x )  <->  ( E. z  e.  C  z B y  /\  y A x ) )
1615exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. y ( y  e.  ( B " C
)  /\  y A x )  <->  E. y
( E. z  e.  C  z B y  /\  y A x ) )
177, 12, 163bitr4i 268 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  o.  B ) " C )  <->  E. y
( y  e.  ( B " C )  /\  y A x ) )
181, 3, 173bitr4ri 269 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A  o.  B ) " C )  <->  x  e.  ( A " ( B
" C ) ) )
1918eqriv 2280 1  |-  ( ( A  o.  B )
" C )  =  ( A " ( B " C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   "cima 4692    o. ccom 4693
This theorem is referenced by:  fvco2  5594  suppfif1  7149  fipreima  7161  mapfien  7399  gsumval3  15191  gsumzf1o  15196  dprdf1o  15267  cnco  16995  cnpco  16996  ptrescn  17333  xkoco1cn  17351  xkoco2cn  17352  xkococnlem  17353  qtopcn  17405  fmco  17656  uniioombllem3  18940  cncombf  19013  deg1val  19482  mbfmco  23569  erdsze2lem2  23735  cvmliftmolem1  23812  cvmlift2lem9a  23834  cvmlift2lem9  23842  cmptdst  25568  limptlimpr2lem1  25574  limptlimpr2lem2  25575  frlmup3  27252  f1lindf  27292  lindfmm  27297  psgnunilem1  27416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702
  Copyright terms: Public domain W3C validator