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Theorem imadif 5327
Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
imadif  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  =  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anandir 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
21exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  <->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
3 19.40 1596 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
42, 3sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
5 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x Fun  `' F
6 nfe1 1706 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )
75, 6nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )
)
8 funmo 5271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' F  ->  E* x  y `' F x )
9 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
10 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
119, 10brcnv 4864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
1211mobii 2179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E* x  y `' F x 
<->  E* x  x F y )
138, 12sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' F  ->  E* x  x F y )
14 mopick 2205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E* x  x F y  /\  E. x
( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
1513, 14sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
1615con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  B  ->  -.  x F y ) )
17 imnan 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  x F y )  <->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
197, 18alrimi 1745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  ->  A. x  -.  (
x  e.  B  /\  x F y ) )
2019ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )  ->  A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
21 exancom 1573 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )  <->  E. x
( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )
22 alnex 1530 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
2320, 21, 223imtr3g 260 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y )  ->  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2423anim2d 548 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
254, 24syl5 28 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
26 19.29r 1584 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2722, 26sylan2br 462 . . . . . 6  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
28 andi 837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  \/  -.  x F y ) )  <-> 
( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y ) ) )
29 ianor 474 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <-> 
( -.  x  e.  B  \/  -.  x F y ) )
3029anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  \/  -.  x F y ) ) )
31 an32 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B
) )
32 pm3.24 852 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
x F y  /\  -.  x F y )
3332intnan 880 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (
x  e.  A  /\  ( x F y  /\  -.  x F y ) )
34 anass 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x F y  /\  -.  x F y ) ) )
3533, 34mtbir 290 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y )
3635biorfi 396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B )  \/  (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y ) ) )
3731, 36bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B )  \/  (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y ) ) )
3828, 30, 373bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y ) )
3938exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  <->  E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
4027, 39sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
4125, 40impbid1 194 . . . 4  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  <-> 
( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
42 eldif 3162 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
4342anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x F y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
4443exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x F
y )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y ) )
459elima2 5018 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( F " A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
469elima2 5018 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( F " B )  <->  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
4746notbii 287 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  ( F
" B )  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
4845, 47anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( F
" A )  /\  -.  y  e.  ( F " B ) )  <-> 
( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
4941, 44, 483bitr4g 279 . . 3  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x F
y )  <->  ( y  e.  ( F " A
)  /\  -.  y  e.  ( F " B
) ) ) )
509elima2 5018 . . 3  |-  ( y  e.  ( F "
( A  \  B
) )  <->  E. x
( x  e.  ( A  \  B )  /\  x F y ) )
51 eldif 3162 . . 3  |-  ( y  e.  ( ( F
" A )  \ 
( F " B
) )  <->  ( y  e.  ( F " A
)  /\  -.  y  e.  ( F " B
) ) )
5249, 50, 513bitr4g 279 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( y  e.  ( F "
( A  \  B
) )  <->  y  e.  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) ) )
5352eqrdv 2281 1  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  =  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692   Fun wfun 5249
This theorem is referenced by:  imain  5328  resdif  5494  difpreima  5653  domunsncan  6962  phplem4  7043  php3  7047  infdifsn  7357  cantnfp1lem3  7382  mapfien  7399  enfin1ai  8010  fin1a2lem7  8032  dprdf1o  15267  cnclima  16997  iscncl  16998  qtopcld  17404  qtoprest  17408  qtopcmap  17410  mbfimaicc  18988  ismbf3d  19009  i1fd  19036  ballotlemfrc  23085  frlmlbs  27249  f1lindf  27292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257
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