Theorem imadmrn 3398

Description: The image of the domain of a class is the range of the class.

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- (A"dom A) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
2	1	opeldm 3303	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> x e. dom A)
3	2	pm4.71i 635	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. dom A))
4		ancom 435	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. A /\ x e. dom A) <-> (x e. dom A /\ <.x, y>. e. A))
5	3, 4	bitr2 174	. . . 4 |- ((x e. dom A /\ <.x, y>. e. A) <-> <.x, y>. e. A)
6	5	exbii 1047	. . 3 |- (E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A) <-> E.x<.x, y>. e. A)
7	6	abbii 1567	. 2 |- {y | E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A)} = {y | E.x<.x, y>. e. A}
8		dfima3 3390	. 2 |- (A"dom A) = {y | E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A)}
9		dfrn3 3293	. 2 |- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}
10	7, 8, 9	3eqtr4 1497	1 |- (A"dom A) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  <.cop 2401  dom cdm 3160  ran crn 3161  "cima 3163

This theorem is referenced by:  fnima 3590  fnex 3593  foima 3661  f1imacnv 3690  fsn2 3821  elunirn 3853  mapsn 4329  phplem4 4491  php3 4495  unir1 4639  cnconst 7719

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181

Copyright terms: Public domain